« Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie » : différence entre les versions

 
 
<math>3\Rightarrow2</math> car une partie de <math>\R^n</math> est bornée si et seulement si elle est incluse dans un compact.
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==Exercice 3-6==
Montrer que l'ensemble <math>\mathrm O_n(\R)=\{M\in\mathrm M_n(\R)\mid{}^t\!MM=\mathrm I_n\}</math> est une partie compacte de <math>\mathrm M_n(\R)</math>.
{{Solution|contenu=
<math>\mathrm O_n(\R)</math> est fermé dans <math>\mathrm M_n(\R)</math>, comme image réciproque du fermé <math>\{\mathrm I_n\}</math> de <math>\mathrm M_n(\R)</math> par l'application continue <math>\mathrm M_n(\R)\to\mathrm M_n(\R),\;M\mapsto{}^t\!MM</math>.
 
Il est de plus borné car <math>\forall M\in\mathrm O_n(\R)\quad\sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^nM_{i,j}^2\right)=\sum_{i=1}^n\left({}^t\!MM\right)_{i,i}=n</math>.
 
Il est donc compact.
}}
 
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