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=== Théorème de Kelvin-Stokes ===
{{Wikipédia|Théorème de Stokes}}
Le théorème de Kelvin <ref name="Kelvin"> '''[[w:William_Thomson_(Lord_Kelvin)|William Thomson]] (1824 - 1907)''', connu aussi sous le nom de '''Lord Kelvin''', physicien britannique d'origine irlandaise à qui on doit des avancées significatives en thermodynamique avec, entre autres, l'introduction du zéro absolu correspondant à l'état idéal d'absence d'agitation thermique ; il redécouvrit dans les années 1840 le théorème de Stokes attribué à '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' mathématicien et physicien britannique mais démontré en premier en 1820 par Ostrogradsky [voir note suivante « [[#cite_note-Stokes-30|<sup>30</sup>]] »].<br>Ce que '''William Thomson''' a apporté en redécouvrant le théorème de Stokes est la formulation particulièrement adaptée à la physique que les anglo-saxons nomment [[w:Théorème_de_Stokes#Sens_physique_de_la_formule_de_Stokes|théorème de Kelvin-Stokes]] concernant la circulation du rotationnel d'un champ vectoriel sur une courbe fermée et sa transformation en flux du champ à travers n'importe quelle surface ouverte s'appuyant sur le contour fermé.</ref> - Stokes <ref name="Stokes"> '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre (il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie) et aussi l'explication du phénomène de fluorescence ; dans le domaine des mathématiques on lui attribue à tort la démonstration du théorème portant son nom mais en fait une 1{{re}} démonstration de ce théorème fut donnée en 1820 par '''[[w:Mikhail_Ostrogradski|Mikhaïl Vassilievitch Ostrogradsky]] (1801 - 1862)''', physicien et mathématicien russe (province de l'Ukraine) à qui l'on doit aussi, entre autres, le théorème de flux-divergence portant partiellement son nom.</ref> (admis) transforme la circulation d'un champ vectoriel <math>\vec{A}(M)</math> de l'espace tridimensionnel le long d'une courbe fermée <math>(\Gamma)</math> orientée de façon arbitraire, en flux du rotationnel du champ vectoriel <math>\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(P)</math><ref name="rotationnel"> Voir le paragraphe « [[../Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Champ_vectoriel_rotationnel_d'une_fonction_vectorielle_de_l'espace|champ vectoriel rotationnel d'une fonction vectorielle de l'espace]] » du chapitre 19 de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> à travers une surface ouverte quelconque <math>\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma)}</math> s'appuyant sur <math>(\Gamma)</math> et dont l'orientation est en accord avec celle du contour <math>(\Gamma)</math> limitant <math>\Big\{</math>la condition d'applicabilité de ce théorème étant la continuité du rotationnel du champ <math>\overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(P)</math> sur toute la surface ouverte s'appuyant sur <math>(\Gamma)\Big\}</math> soit <center><math>\mathcal{C}_{(\Gamma)}\!\left[ \vec{A}(M) \right] = \displaystyle\oint\limits_{(\Gamma)} \vec{A}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = \displaystyle\iint\limits_{\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma)}} \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(P) \cdot \overrightarrow{dS}_P</math><ref name="intégrale surfacique"> Voir le paragraphe « [[../Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrale_surfacique_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrale surfacique et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chapitre 17 de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref> <math>= \Phi_{\mathcal{S}_{\text{lim. par }(\Gamma)}}\!\left\lbrace \overrightarrow{\mathrm{rot}}\!\left[ \vec{A} \right]\!(P) \right\rbrace</math>.</center>
 
=== Propriété locale caractérisant un champ vectoriel à circulation conservative de l'espace tridimensionnel ===