« Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Théorème de Taylor-Young et développements limités d'une fonction d'une variable » : différence entre les versions

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=== Rappel===
 
<span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>L'approximation linéaire est un cas particulier d'application à l'ordre un1 du théorème de '''Taylor-Young''' <ref name="Taylor et Young"> '''Brook Taylor (1685 - 1731)''' est un mathématicien anglais à qui on doit essentiellement le théorème connu sous le nom de Taylor établi en <math>1715</math> et qui possède plusieurs variantes dont celle de Taylor-Young. <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>'''William Henry Young (1863 - 1942)''' est un mathématicien anglais ayant travaillé dans de nombreux domaines dont les séries de Fourier et le calcul différentiel, il apporta aussi une contribution au théorème de Taylor, ce qui donna le théorème (ou formule) de Taylor-Young.</ref> vu plus loin :
 
{{Théorème| titre = Approximation linéaire de <math>f(x)</math> au voisinage de <math>a</math>| contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Soit <math>\;f\;</math> une fonction réelle de la variable <math>\;x</math>, de classe <math>\;C^1\;</math> sur un domaine <math>\;\mathcal{D}\;</math><ref> C'est-à-dire fonction et dérivée première continues sur le domaine <math>\;\mathcal{D}</math>.</ref>, <math>\;a\;</math> un point du domaine <math>\;\mathcal{D}\;</math> et <math>\;x \in \mathcal{V}(a)\;</math><ref> <math>\;\mathcal{V}(a)\;</math> est un voisinage de <math>\;a\;</math> si et seulement s'il existe un réel strictement positif <math>\;\mu\;</math> tel que <math>\;\left] a - \mu\, {;}\, a + \mu \right[ \subset \mathcal{V}(a)</math>.</ref>, alors on a la relation suivante : <div style="text-align: center;"><math>\;f(x) = f(a) + f'(a)\, (x - a) +o\left( x - a \right)</math><ref name="petit o"> Se lit « petit o de » …</ref> où <math>\;\;\lim\limits_{x \rightarrow a} \left[ \dfrac{o\left(x-a\right)}{x - a} \right] = 0</math>.</div>}}
<span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Remarque</u> : En physique on note <math>\;f(x) \simeq f(a) + f'(a)\, (x - a)\;</math> ou, <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small><u>Remarque</u> : En physique on note </span><math>\;f(a + \varepsilon) \simeq f(a) + f'(a)\, \varepsilon\;</math> en introduisant la variable <math>\;\varepsilon = x - a</math>.
 
=== Développements limités à l'ordre un1 d'une fonction d'une variable===
 
{{Définition| titre = Définitions|contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><math>\varepsilon = x - a\;</math> pouvant être choisi aussi petit que possible définit « un <u>infiniment petit d'ordre un1</u> » et
 
<span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>l'approximation linéaire de <math>\;f(x)\;</math> au voisinage de <math>\;a\;</math><ref>Ou théorème de Taylor-Young à l'ordre un1 appliqué à <math>\;f(x)\;</math> au voisinage de <math>\;a</math>.</ref> <math>\;f(a + \varepsilon) \simeq f(a) + f'(a)\, \varepsilon\;</math><ref> Il faudrait écrire mathématiquement <math>\;f(a + \varepsilon) = f(a) + f'(a)\, \varepsilon +o\left( \varepsilon \right)</math> où <math>\;\;\lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0} \left[ \dfrac{o\left( \varepsilon \right)}{\varepsilon} \right] = 0</math>.</ref> est encore appelé « <u>développement limité (D.L.) à l'ordre un1 de la fonction</u> <math>\;f\;</math> <u>au voisinage de</u> <math>\;a</math> » <ref> En toute rigueur, pour que le développement soit limité à l'ordre un1, il faut qu'il soit possible à un ordre supérieur à un1 et donc que la fonction soit au moins de classe <math>\;C^2\;</math> (fonction et dérivées continues jusqu'à l'ordre deux2 au moins) sur le domaine <math>\;\mathcal{D}</math>, sinon il s'agit d'une simple application du théorème de Taylor-Young à l'ordre le plus élevé possible c'est-à-dire l'ordre un1 pour une fonction de classe <math>\;C^1\;</math> sur le domaine <math>\;\mathcal{D}</math>.</ref> :
* le 1{{er}} terme <math>\;f(a)\;</math> étant le <u>terme d'ordre zéro0</u> (seule grandeur non infiniment petite) et
* le 2{{ème}} <math>\;f'(a)\, \varepsilon\;</math> le <u>terme d'ordre un1</u> (qui est aussi un infiniment petit d'ordre un1) ;
* le 1{{er}} terme non nul définit le <u>terme prépondérant</u> <math>\Bigg[</math>c'est-à-dire <math>\;\begin{align} & \;\;f(a) & \text{si }\quad f(a) \neq 0\\ & f'(a)\, \varepsilon & \text{si }\quad f(a) = 0\end{align}</math><math>\Bigg]</math>.}}
 
=== Développements limités à l'ordre un1 de quelques fonctions usuelles ===
 
* D.L. à l'ordre un1 de <math>\;\sin(x)\;</math> au voisinage de zéro : <math>\;\sin(\varepsilon) = \varepsilon +o\left( \varepsilon \right)</math> ou <math>\;\sin(\varepsilon) \simeq \varepsilon</math>,
* D.L. à l'ordre un1 de <math>\;\tan(x)\;</math> au voisinage de zéro : <math>\;\tan(\varepsilon) = \varepsilon +o\left( \varepsilon \right)</math> ou <math>\;\tan(\varepsilon) \simeq \varepsilon</math>,
* D.L. à l'ordre un1 de <math>\;\cos(x)\;</math> au voisinage de zéro : <math>\;\cos(\varepsilon) = 1 +o\left( \varepsilon \right)</math> ou <math>\;\cos(\varepsilon) \simeq 1\;</math><ref name="D.L. de fonctions paires au voisinage de zéro"> Le D.L. d'une fonction paire au voisinage de zéro ne peut contenir que des termes d'ordre pair.</ref>,
* D.L. à l'ordre un1 de <math>\;\arcsin(x)\;</math> au voisinage de zéro : <math>\;\arcsin(\varepsilon) = \varepsilon +o\left( \varepsilon \right)</math> ou <math>\;\arcsin(\varepsilon) \simeq \varepsilon\;</math>,
* D.L. à l'ordre un1 de <math>\;\arccos(x)\;</math> au voisinage de zéro : <math>\;\arccos(\varepsilon) = \dfrac{\pi}{2} - \varepsilon +o\left( \varepsilon \right)\;</math> ou <math>\;\arccos(\varepsilon) \simeq \dfrac{\pi}{2} - \varepsilon\;</math><ref> Ce D.L. à l'ordre un1 au voisinage de zéro pouvait être aussi déduit du lien existant entre <math>\;\arcsin(x)\;</math> et <math>\;\arccos(x)</math>, à savoir <math>\;\arccos(x) = \dfrac{\pi}{2} - \arcsin(x)</math>, dans lequel on injecte le D.L. à l'ordre un1 de <math>\;\arcsin(x)\;</math> au voisinage de zéro soit <math>\;\arcsin(\varepsilon) = \varepsilon +o\left( \varepsilon \right)\;</math> ce qui permet d'écrire <math>\;\arccos(\varepsilon) = \dfrac{\pi}{2} - \left[ \varepsilon +o\left( \varepsilon \right) \right]\;</math> ou, sachant que <math>-o\left( \varepsilon \right)</math> est aussi un <math>o\left( \varepsilon \right)</math>, le D.L. final écrit.</ref>,
* D.L. à l'ordre un1 de <math>\;\arctan(x)\;</math> au voisinage de zéro : <math>\;\arctan(\varepsilon) = \varepsilon +o\left( \varepsilon \right)\;</math> ou <math>\;\arctan(\varepsilon) \simeq \varepsilon</math>,
* D.L. à l'ordre un1 de <math>\;\exp(x)\;</math> au voisinage de zéro : <math>\;\exp(\varepsilon) = 1 + \varepsilon +o\left( \varepsilon \right)\;</math> ou <math>\;\exp(\varepsilon) \simeq 1 + \varepsilon</math>,
* D.L. à l'ordre un1 de <math>\;\ln(1 + x)\;</math> au voisinage de zéro : <math>\;\ln(1 + \varepsilon) = \varepsilon +o\left( \varepsilon \right)\;</math> ou <math>\;\ln(1 + \varepsilon) \simeq \varepsilon</math>,
* D.L. à l'ordre un1 de <math>\;(1 + x)^n,\; n \in \mathbb{Q}^{*}\;</math><ref name="signification d'un exposant rationnel"> <math>\;u^{\frac{p}{q}},\; p \in \mathbb{Z}^{*}\;\text{et}\;q \in \mathbb{N}^{*}\;</math> est définie par <math>\;u^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{u^p}</math>.</ref>{{,}} <ref name="exclusion de n = 0"> <math>\;n = 0\;</math> est exclu car, pour cette valeur, ce n'est pas un D.L. mais une expression exacte.</ref> au voisinage de zéro : <math>\;(1 + \varepsilon)^n = 1 + n\, \varepsilon +o\left( \varepsilon \right)</math> ou <math>\;(1 + \varepsilon)^n \simeq 1 + n\, \varepsilon</math>.
<span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span><u>Remarque</u> : Il est possible, dans certains cas, de déterminer un développement limité à l'ordre deux2 d'une fonction par utilisation exclusive de l'approximation linéaire d'une autre fonction comme sur l'exemple suivant « D.L. à l'ordre deux2 de <math>\;\cos(x)\;</math> au voisinage de zéro » :
<br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small><u>Remarque</u> :</span> on utilise la formule de trigonométrie <math>\;\cos(x) = 1 - 2\, \sin^2\! \left( \dfrac{x}{2} \right)\;</math> et le D.L. à l'ordre un1 de <math>\;\sin\dfrac x2</math> au voisinage de zéro <math>\;\sin\! \left( \dfrac{\varepsilon}{2} \right) =</math> <math>\dfrac{\varepsilon}2+o\left( \dfrac{\varepsilon}{2} \right) = \dfrac{\varepsilon}2+o\left( \varepsilon \right)\;</math><ref> En effet <math>o\left( \dfrac{\varepsilon}{2} \right)\;</math> étant telle que <math>\;\lim\limits_{\frac{\varepsilon}{2} \rightarrow 0} \left[ \dfrac{o\left( \dfrac{\varepsilon}{2} \right)}{\dfrac{\varepsilon}{2}} \right] = 0\;</math> vérifie aussi <math>\;\lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0} \left[ \dfrac{o\left( \dfrac{\varepsilon}{2} \right)}{\varepsilon} \right] = 0\;</math> c'est-à-dire que <math>o\left( \dfrac{\varepsilon}{2} \right)\;</math> peut s'écrire <math>o\left( \varepsilon \right)</math>.</ref> d'où
<br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small><u>Remarque</u> :</span><math>\;\cos(\varepsilon) = 1 - 2\, \left[ \dfrac{\varepsilon}2+o\left( \varepsilon \right) \right]^2 = 1 - \dfrac{\varepsilon^2}{2} - 2\, \varepsilon\,o\left( \varepsilon \right) - 2\, \left[o\left( \varepsilon \right) \right]^2 = 1 - \dfrac{\varepsilon^2}2+o\left( \varepsilon^2 \right)\;</math><ref> En effet, <math>o\left( \varepsilon \right)\;</math> étant telle que <math>\;\lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0} \left[ \dfrac{o\left( \varepsilon \right)}{\varepsilon} \right] = 0\;</math> on en déduit <math>\;\lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0} \left[ \dfrac{\varepsilon\;o\left( \varepsilon \right)}{\varepsilon^2} \right] = 0\;</math> c'est-à-dire que <math>\;\varepsilon\;o\left( \varepsilon \right)\;</math> peut s'écrire <math>o\left( \varepsilon^2 \right)</math>, <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>de même <math>\;\left[oO\left( \varepsilon \right) \right]^2\;</math> est telle que <math>\;\lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0} \left[ \dfrac{oO\left( \varepsilon \right)}{\varepsilon} \times \dfrac{o\left( \varepsilon \right)}{\varepsilon} \right] = 0\;</math> ou encore <math>\;\lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0} \left\lbrace \dfrac{\left[o\left( \varepsilon \right) \right]^2}{\varepsilon^2} \right] = 0\;</math> c'est-à-dire que <math>\;\left[o\left( \varepsilon \right) \right]^2\;</math> peut s'écrire <math>o\left( \varepsilon^2 \right)</math>, <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>enfin une combinaison linéaire de <math>o\left( \varepsilon^2 \right)\;</math> est aussi une fonction du type <math>o\left( \varepsilon^2 \right)</math>.</ref> ou <math>\;\cos(\varepsilon) \simeq 1 - \dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math><ref> Il faudrait écrire mathématiquement <math>\;\cos(\varepsilon) = 1 - \dfrac{\varepsilon^2}2+o\left( \varepsilon^2 \right)\;\;</math> où <math>\;\;\lim\limits_{\varepsilon \rightarrow 0} \left[ \dfrac{o\left( \varepsilon^2 \right)}{\varepsilon^2} \right] = 0</math>.</ref>.
 
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<span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Dans la mesure où <math>\;x \in \mathcal{V}(a)\;</math> peut être « le plus proche possible de <math>\;a\;</math>» <ref> <math>\;x \in \mathcal{V}(a)\;</math> choisi « le plus proche possible de <math>\;a\;</math>» signifie que l'ouvert <math>\;\left] a - \mu\,,\, a + \mu \right[ \subset \mathcal{V}(a)\;</math> dans lequel se trouve <math>\;x</math>, est choisi le plus étroit possible en prenant <math>\;\mu\;</math> le plus petit possible …</ref>,
* <math>\;(x - a)\;</math> définit un <u>infiniment petit d'ordre un1</u>,
* <math>\;(x - a)^2\qquad\,</math> un <u>infiniment petit d'ordre deux2</u>,
* …,
* <math>\;(x - a)^k\qquad\,</math> un <u>infiniment petit d'ordre '''k'''</u>, <math>\;k \in \left[ \left[ 1\,,\, n \right] \right]\;</math><ref name="intervalle d'un ensemble d'entiers"> Cette notation est utilisée pour représenter un intervalle fermé d'entiers naturels.</ref>,
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=== Réécriture du théorème de Taylor-Young utilisant qu'une fonction de classe C<sup>''n''</sup> est de classe C<sup>''p''</sup> avec ''p'' < ''n''===
 
<span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Soit <math>\;f\;</math> une fonction réelle de la variable <math>\;x</math>, de classe <math>\;C^n\;</math> sur un domaine <math>\;\mathcal{D}\;</math><ref name="classe Cn" />, elle est évidemment de classe <math>\;C^p\;</math> sur le même domaine <math>\;\mathcal{D}\;</math> si <math>\;p \in \left[ \left[ 0\,,\, n \right[ \right[\;</math><ref> La borne <math>\;n\;</math> étant exclue de l'intervalle, celui-ci pourrait être écrit <math>\;\left[ \left[ 0\,,\, (n - 1) \right] \right]</math> ; <br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>bien sûr <math>\;p\;</math> pourrait aussi prendre la valeur <math>\;n\;</math> mais il se s'en déduirait alors aucune transformation de la relation de Taylor-Young et c'est la raison pour laquelle on exclut la valeur <math>\;n</math>.</ref> et on peut réécrire la relation de Taylor-Young <ref name="Taylor et Young" /> selon <math>\;f(x) = \sum\limits_{k\, \in\, \left[ \left[ 0\,,\,p \right] \right]} f^{(k)}(a)\,\dfrac{(x - a)^k}{k!} + \left\lbrace \sum\limits_{l\, \in\, \left[ \left[ p + 1\,,\,n \right] \right]} f^{(l)}(a)\,\dfrac{(x - a)^l}{l!} +o\left[ \left( x - a \right)^n \right] \right\rbrace\;</math><ref> Le {{1er}} terme de la somme étant <math>\;f^{(0)}(a)\,\dfrac{(x - a)^0}{0!}\;</math> s'identifiant à <math>\;f(a)\;</math> si on admet, d'une part, que la dérivée d'ordre zéro0 d'une fonction est la fonction elle-même et avec, d'autre part, <math>\;(x - a)^0 = 1\;</math> ainsi que <math>\;0! = 1\;</math> par convention.</ref> dans lequel la somme entre accolades est un <math>o\left[ \left( x - a \right)^p \right]\;</math> car <math>\;\;\lim\limits_{x\, \rightarrow\, a} \left\lbrace \dfrac{\sum\limits_{l\, \in\, \left[ \left[ p + 1\,,\,n \right] \right]} f^{(l)}(a)\,\dfrac{(x - a)^l}{l!} +o\left[ \left( x - a \right)^n \right] }{\left( x - a \right)^p} \right\rbrace = \lim\limits_{x\, \rightarrow\, a} \left\lbrace \sum\limits_{l\, \in\, \left[ \left[ p + 1\,,\,n \right] \right]} f^{(l)}(a)\,\dfrac{(x - a)^{l - p}}{l!} +o\left[ \left( x - a \right)^{n - p} \right] \right\rbrace = 0\;</math> soit finalement la réécriture de la relation de Taylor-Young <ref name="Taylor et Young" /> selon
<center><math>\;f(x) = \sum\limits_{k\, \in\, \left[ \left[ 0\,,\,p \right] \right]} f^{(k)}(a)\,\dfrac{(x - a)^k}{k!} +o\left[ \left( x - a \right)^p \right]\;\;</math><ref name="petit o" /> avec <math>\;\;\lim\limits_{x\, \rightarrow\, a} \left\lbrace \dfrac{o\left[ \left( x - a \right)^p \right]}{\left( x - a \right)^p} \right\rbrace = 0\;</math> pour tout <math>\;p \in \left[ \left[ 0\,,\, n \right] \right]\;</math><ref> Le fait d'autoriser que <math>\;p\;</math> puisse prendre la valeur <math>\;n\;</math> ne fait que réécrire la relation de Taylor-Young sous sa forme initiale, cela n'apporte donc rien de nouveau mais c'est bien sûr admissible …</ref>.</center>
=== Notion de développement limité d'ordre ''p'' d'une fonction d'une variable de classe C<sup>''n''</sup>, auà voisinagetout d'une de ses valeurs, l'ordre ''p'' étant < à ''n''===
 
<span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>On appelle <u>développement limité (ou D.L.) d'ordre</u> <math>\;p \in \left[ \left[ 0\,,\, (n - 1) \right] \right]\;</math> <u>de la fonction</u> <math>\;f\;</math> [de classe <math>\;C^n\;</math> sur le domaine <math>\;\mathcal{D}\;</math><ref name="classe Cn" />] <u>au voisinage de</u> <math>\;a \in \mathcal{D}</math>, <u>la relation de Taylor-Young <ref name="Taylor et Young" /> tronquée à l'ordre</u> <math>\;p\;</math> à savoir <math>\;f(x) = \sum\limits_{k\, \in\, \left[ \left[ 0\,,\,p \right] \right]} f^{(k)}(a)\,\dfrac{(x - a)^k}{k!} +o\left[ \left( x - a \right)^p \right]\;\;</math><ref name="petit o" /> avec <math>\;\;\lim\limits_{x\, \rightarrow\, a} \left\lbrace \dfrac{o\left[ \left( x - a \right)^p \right]}{\left( x - a \right)^p} \right\rbrace = 0</math> ;
* D.L. de <math>\;f\;</math> d'ordre <math>\; 0\;</math> au voisinage de <math>\;a</math> : <math>\;f(x) = f(a) +o\left[ 1 \right]\;</math><ref name="petit o" /> avec <math>\;\lim\limits_{x\, \rightarrow\, a} \left\lbrace \dfrac{o\left[ 1 \right]}{1} \right\rbrace = 0</math>,
* D.L. de <math>\;f\;</math> d'ordre <math>\; 1\;</math> au voisinage de <math>\;a</math> : <math>\;f(x) = f(a) + f'(a)\,(x - a) +o\left[ \left( x - a \right) \right]\;</math><ref name="petit o" /> avec <math>\;\lim\limits_{x\, \rightarrow\, a} \left\lbrace \dfrac{o\left[ \left( x - a \right) \right]}{ \left( x - a \right)} \right\rbrace = 0</math>,
* D.L. de <math>\;f\;</math> d'ordre <math>\; 2\;</math> au voisinage de <math>\;a</math> : <math>\;f(x) = f(a) + f'(a)\,(x - a) + f''(a)\,\dfrac{\left( x - a \right)^2}{2} + o\left[ \left( x - a \right)^2 \right]\;</math><ref name="petit o" /> avec <math>\;\lim\limits_{x\, \rightarrow\, a} \left\lbrace \dfrac{o\left[ \left( x - a \right)^2 \right]}{ \left( x - a \right)^2} \right\rbrace</math> <math>= 0</math>,
* D.L. de <math>\;f\;</math> d'ordre <math>\; 3\;</math> au voisinage de <math>\;a</math> : <math>\;f(x) = f(a) + f'(a)\,(x - a) + f''(a)\,\dfrac{\left( x - a \right)^2}{2} + f^{(3)}(a)\,\dfrac{\left( x - a \right)^3}{6} +o\left[ \left( x - a \right)^3 \right]\;</math><ref name="petit o" />{{,}} <ref> On rappelle que <math>\;3! = 3 \times 2 \times 1 = 6</math>.</ref> dans lequel <math>\;\lim\limits_{x\, \rightarrow\, a} \left\lbrace \dfrac{o\left[ \left( x - a \right)^3 \right]}{ \left( x - a \right)^3} \right\rbrace = 0</math>,
* …
* D.L. de <math>\;f\;</math> d'ordre <math>\;(n - 1)\;</math> au voisinage de <math>\;a</math> : <math>\;f(x) = f(a) + f'(a)\,(x - a) + f''(a)\,\dfrac{\left( x - a \right)^2}{2} + \cdots + f^{(n - 1)}(a)\,\dfrac{\left( x - a \right)^{n - 1}}{(n - 1)!} +</math> <math>o\left[ \left( x - a \right)^{n - 1} \right]\;</math><ref name="petit o" /> dans lequel <math>\;\lim\limits_{x\, \rightarrow\, a} \left\lbrace \dfrac{o\left[ \left( x - a \right)^{n - 1} \right]}{ \left( x - a \right)^{n - 1}} \right\rbrace = 0</math>.
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== Principaux développements limités au voisinage de zéro ==
 
=== D.L. d'ordre un1 de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéro ===
 
<span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Revoir le paragraphe « [[#Développements_limités_à_l'ordre_1_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre 1 de quelques fonctions usuelles]] » plus haut dans ce chapitre ;
 
<span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>on peut ajouter, après l'étude du chapitre 27 « [[../Fonctions hyperboliques directes et inverses]] », les D.L. de fonctions hyperboliques directes et inverses au voisinage de zéro <ref name="si définies"> Bien sûr uniquement pour celles qui y sont définies.</ref> :
* D.L. à l'ordre un1 de <math>\;\sinh(x)\;</math> au voisinage de zéro : <math>\;\sinh(\varepsilon) = \varepsilon +o\left( \varepsilon \right)\;</math> ou <math>\;\sinh(\varepsilon) \simeq \varepsilon\;</math><ref> En effet <math>\;\dfrac{d \left[ \sinh \right]}{dx}(0) = \cosh(0) = 1</math>.</ref>,
* D.L. à l'ordre un1 de <math>\;\tanh(x)\;</math> au voisinage de zéro : <math>\;\tanh(\varepsilon) = \varepsilon +o\left( \varepsilon \right)\;</math> ou <math>\;\tanh(\varepsilon) \simeq \varepsilon\;</math><ref> En effet <math>\;\dfrac{d \left[ \tanh \right]}{dx}(0) = \dfrac{1}{\cosh^2(0)} = 1</math>.</ref>,
* D.L. à l'ordre un1 de <math>\;\cosh(x)\;</math> au voisinage de zéro : <math>\;\cosh(\varepsilon) = 1 +o\left( \varepsilon \right)\;</math> ou <math>\;\cosh(\varepsilon) \simeq 1\;</math><ref> En effet <math>\;\cosh(0) = 1\;</math> d'une part et d'autre part <math>\;\dfrac{d \left[ \cosh \right]}{dx}(0) = \sinh(0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="D.L. de fonctions paires au voisinage de zéro" />,
* D.L. à l'ordre un1 de <math>\;\mathrm{argsinh}x</math> au voisinage de zéro : <math>\;\mathrm{argsinh}(\varepsilon) = \varepsilon +o\left( \varepsilon \right)\;</math> ou <math>\;\mathrm{argsinh}(\varepsilon) \simeq \varepsilon\;</math><ref> En effet <math>\;\dfrac{d \left[ \mathrm{argsinh} \right]}{dx}(0) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}(x = 0) = 1</math>.</ref>,
* D.L. à l'ordre un1 de <math>\;\mathrm{argtanh}(x)\;</math> au voisinage de zéro : <math>\;\mathrm{argtanh}(\varepsilon) = \varepsilon +o\left( \varepsilon \right)\;</math> ou <math>\;\mathrm{argtanh}(\varepsilon) \simeq \varepsilon\;</math><ref> En effet <math>\;\dfrac{d \left[ \mathrm{argtanh} \right]}{dx}(0) = \dfrac{1}{1 - x^2}(x = 0) = 1</math>.</ref>.
 
=== D.L. d'ordre deux2 de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéro ===
 
* D.L. à l'ordre deux2 de <math>\;\sin(x)\;</math> au voisinage de zéro : <math>\;\sin(\varepsilon) = \varepsilon +o\left( \varepsilon^2 \right)\;</math> ou <math>\;\sin(\varepsilon) \simeq \varepsilon\;</math><ref> En effet <math>\;\dfrac{d^2 \left[ \sin \right]}{dx^2}(0) = -\sin0= 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="D.L. de fonctions impaires au voisinage de zéro"> Le D.L. d'une fonction impaire au voisinage de zéro ne peut contenir que des termes d'ordre impair.</ref>,
* D.L. à l'ordre deux2 de <math>\;\tan(x)\;</math> au voisinage de zéro : <math>\;\tan(\varepsilon) = \varepsilon +o\left( \varepsilon^2 \right)\;</math> ou <math>\;\tan(\varepsilon) \simeq \varepsilon\;</math><ref> En effet <math>\;\dfrac{d^2 \left[ \tan \right]}{dx^2}(0) = \dfrac{d \left[ 1 + \tan^2 \right]}{dx}(0) = 2\;\tan(0)\,\left[ 1 + \tan^2(0) \right] = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="D.L. de fonctions impaires au voisinage de zéro" />,
* D.L. à l'ordre deux2 de <math>\;\cos(x)\;</math> au voisinage de zéro : <math>\;\cos(\varepsilon) = 1 - \dfrac{\varepsilon^2}2+o\left( \varepsilon^2 \right)\;</math> ou <math>\;\cos(\varepsilon) \simeq 1 - \dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math><ref> En effet <math>\;\dfrac{d^2 \left[ \cos \right]}{dx^2}(0) = -\cos(0) = -1</math>.</ref>,
* D.L. à l'ordre deux2 de <math>\;\arcsin(x)\;</math> au voisinage de zéro : <math>\;\arcsin(\varepsilon) = \varepsilon +o\left( \varepsilon^2 \right)\;</math> ou <math>\;\arcsin(\varepsilon) \simeq \varepsilon\;</math><ref> En effet <math>\;\dfrac{d^2 \left[ \arcsin \right]}{dx^2}(0) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \right]}{dx}(0) = -\dfrac{1}{2}\;\dfrac{2\;x}{\left( 1 + x^2 \right)^{\frac{3}{2}}}(x = 0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="D.L. de fonctions impaires au voisinage de zéro" />,
* D.L. à l'ordre deux2 de <math>\;\arccos(x)\;</math> au voisinage de zéro : <math>\;\arccos(\varepsilon) = \dfrac{\pi}{2} - \varepsilon +o\left( \varepsilon^2 \right)\;</math> ou <math>\;\arccos(\varepsilon) \simeq \dfrac{\pi}{2} - \varepsilon\;</math><ref> En effet <math>\;\dfrac{d^2 \left[ \arccos \right]}{dx^2}(0) = \dfrac{d \left[ \dfrac{-1}{\sqrt{1 - x^2}} \right]}{dx}(0) = -\dfrac{1}{2}\;\dfrac{-2\;x}{\left( 1 - x^2 \right)^{\frac{3}{2}}}(x = 0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref> Ce D.L. à l'ordre 2 au voisinage de zéro pouvait être aussi déduit du lien existant entre <math>\;\arcsin(x)\;</math> et <math>\;\arccos(x)</math>, à savoir <math>\;\arccos(x) = \dfrac\pi2- \arcsin x</math>, dans lequel on injecte le D.L. à l'ordre deux2 de <math>\;\arcsin(x)\;</math> au voisinage de zéro soit <math>\;\arcsin(\varepsilon) = \varepsilon +o\left( \varepsilon^2 \right)\;</math> ce qui permet d'écrire <math>\;\arccos(\varepsilon) = \dfrac{\pi}{2} - \left[ \varepsilon +o\left( \varepsilon^2 \right) \right]\;</math> ou, sachant que <math>-o\left( \varepsilon^2 \right)\;</math> est aussi un <math>o\left( \varepsilon^2 \right)</math>, le D.L. final écrit.</ref>,
* D.L. à l'ordre deux2 de <math>\;\arctan(x)\;</math> au voisinage de zéro : <math>\;\arctan(\varepsilon) = \varepsilon +o\left( \varepsilon^2 \right)\;</math> ou <math>\;\arctan(\varepsilon) \simeq \varepsilon\;</math><ref> En effet <math>\;\dfrac{d^2 \left[ \arctan \right]}{dx^2}(0) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{1 + x^2} \right]}{dx}(0) = -\dfrac{2\;x}{\left( 1 + x^2 \right)^2}(x = 0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="D.L. de fonctions impaires au voisinage de zéro" />,
* D.L. à l'ordre deux2 de <math>\;\exp(x)\;</math> au voisinage de zéro : <math>\;\exp(\varepsilon) = 1 + \varepsilon + \dfrac{\varepsilon^2}{2} +o\left( \varepsilon^2 \right)\;</math> ou <math>\;\exp(\varepsilon) \simeq 1 + \varepsilon + \dfrac{\varepsilon^2}{2}</math>,
* D.L. à l'ordre deux2 de <math>\;\ln(1 + x)\;</math> au voisinage de zéro : <math>\;\ln(1 + \varepsilon) = \varepsilon - \dfrac{\varepsilon^2}{2} +o\left( \varepsilon^2 \right)\;</math> ou <math>\;\ln(1 + \varepsilon) \simeq \varepsilon - \dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math><ref> En effet <math>\;\dfrac{d^2 \left[ \ln(1 + x) \right]}{dx^2}(0) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{1 + x} \right]}{dx}(0) = -\dfrac{1}{\left( 1 + x \right)^2}(x = 0) = -1</math>.</ref>,
* D.L. à l'ordre deux2 de <math>\;(1 + x)^n,\; n \in \mathbb{Q}^{*}\;</math><ref name="signification d'un exposant rationnel" />{{,}} <ref name="exclusion de n = 0" /> au voisinage de zéro : <math>\;(1 + \varepsilon)^n = 1 + n\, \varepsilon + \dfrac{n\,(n - 1)}{2}\,\varepsilon^2 +o\left( \varepsilon^2 \right)\;</math> que l'on écrit encore en physique selon <math>\;(1 + \varepsilon)^n \simeq 1 + n\, \varepsilon + \dfrac{n\,(n - 1)}{2}\,\varepsilon^2\;</math><ref> En effet <math>\;\dfrac{d^2 \left( 1 + x) \right)^n}{dx^2}(0) = n\;\dfrac{d \left( 1 + x \right)^{n - 1}}{dx}(0) = n\;(n - 1)\,\left( 1 + x \right)^{n - 2}(x = 0) = n\;(n - 1)</math>.</ref> ;
 
<span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>on peut ajouter, après l'étude du chapitre<math>27</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », les D.L. de fonctions hyperboliques directes et inverses au voisinage de zéro <ref name="si définies" /> :
* D.L. à l'ordre deux2 de <math>\;\sinh(x)\;</math> au voisinage de zéro : <math>\;\sinh(\varepsilon) = \varepsilon +o\left( \varepsilon^2 \right)\;</math> ou <math>\;\sinh(\varepsilon) \simeq \varepsilon\;</math><ref name="D.L. de fonctions impaires au voisinage de zéro" />,
* D.L. à l'ordre deux2 de <math>\;\tanh(x)\;</math> au voisinage de zéro : <math>\;\tanh(\varepsilon) = \varepsilon +o\left( \varepsilon^2 \right)\;</math> ou <math>\;\tanh(\varepsilon) \simeq \varepsilon\;</math><ref name="D.L. de fonctions impaires au voisinage de zéro" />,
* D.L. à l'ordre deux2 de <math>\;\cosh(x)\;</math> au voisinage de zéro : <math>\;\cosh(\varepsilon) = 1 + \dfrac{\varepsilon^2}{2} +o\left( \varepsilon^2 \right)\;</math> ou <math>\;\cosh(\varepsilon) \simeq 1 + \dfrac{\varepsilon^2}{2}\;</math><ref> En effet <math>\;\cosh(0) = 1\;</math> d'une part et d'autre part <math>\;\dfrac{d^2 \left[ \cosh \right]}{dx^2}(0) = \dfrac{d \left[ \sinh \right]}{dx}(0) = \cosh(0) = 1</math>.</ref>,
* D.L. à l'ordre deux2 de <math>\;\mathrm{argsinh}(x)\;</math> au voisinage de zéro : <math>\;\mathrm{argsinh}(\varepsilon) = \varepsilon +o\left( \varepsilon \right)\;</math> ou <math>\;\mathrm{argsinh}(\varepsilon) \simeq \varepsilon\;</math><ref> En effet <math>\;\dfrac{d^2 \left[ \mathrm{argsinh} \right]}{dx^2}(0) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \right]}{dx}(x = 0) = -\dfrac{1}{2}\;\dfrac{2\;x}{\left( 1 + x^2 \right)^{\frac{3}{2}}}(x = 0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="D.L. de fonctions impaires au voisinage de zéro" />,
* D.L. à l'ordre deux2 de <math>\;\mathrm{argtanh}(x)\;</math> au voisinage de zéro : <math>\;\mathrm{argtanh}(\varepsilon) = \varepsilon +o\left( \varepsilon \right)\;</math> ou <math>\;\mathrm{argtanh}(\varepsilon) \simeq \varepsilon\;</math><ref> En effet <math>\;\dfrac{d^2 \left[ \mathrm{argtanh} \right]}{dx^2}(0) = \dfrac{d \left[ \dfrac{1}{1 - x^2} \right]}{dx}(0) = -\dfrac{-2\;x}{\left( 1 - x^2 \right)^2}(x = 0) = 0</math>.</ref>{{,}} <ref name="D.L. de fonctions impaires au voisinage de zéro" />.
 
== Trouver le développement limité au voisinage de zéro d'une fonction connaissant celui de sa dérivée ==
 
=== Retrouver, sur un exemple, le D.L. d'ordre deux2 d'une fonction au voisinage de zéro connaissant le D.L. d'ordre un1 de sa dérivée au même voisinage ===
 
<span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>On se propose de retrouver le D.L. à l'ordre deux2 de <math>\;\ln(1 + x)\;</math> au voisinage de zéro à partir du D.L. à l'ordre un1 de <math>\;\dfrac{1}{1 + x} = (1 + x)^{-1}\;</math> au même voisinage de zéro, sachant que <math>\;\ln(1 + x)\;</math> est la primitive de <math>\;\dfrac{1}{1 + x}\;</math> qui s'annule en <math>\;x = 0</math> ;
 
<span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>sachant que <math>\;\dfrac{1}{1 + x} = (1 + x)^{-1} = 1 - x +o\left( x \right)\;</math> à l'ordre un1 en <math>\;x\;</math> au voisinage de zéro, on en déduit, en intégrant terme à terme, le D.L. de <math>\;\ln(1 + x) =</math> <math>\displaystyle\int_0^x \dfrac{d \xi}{1 + \xi}\;</math> à l'ordre deux2 en <math>\;x\;</math> au voisinage de zéro soit <math>\;\ln(1 + x) = \displaystyle\int_0^x d \xi - \displaystyle\int_0^x \xi\;d \xi + \displaystyle\int_0^xo\left( \xi \right)\;d \xi = x - \dfrac{x^2}{2} +o\left( x^2 \right)\;</math><ref> En effet la fonction <math>\;\dfrac{1}{1 + x}\;</math> étant de classe <math>\;C^{\infty}</math>, on peut affirmer que le reste de son D.L. à l'ordre un1 au voisinage de zéro c'est-à-dire <math>\;\dfrac{1}{1 + x} - \left[ 1 - x \right]\;</math> noté <math>o\left( x \right)\;</math> peut être décomposé en une somme infinie de monômes de degré supérieur ou égal à 2 représentant la partie tronquée de tout D.L. de <math>\;\dfrac{1}{1 + x}\;</math> à un ordre supérieur ou égal à deux2, à savoir <math>o\left( x \right) =</math> <math>x^2 - x^3 + \cdots + x^{2\,k} - x^{2\,k + 1} + \cdots = \sum\limits_{k\,\in\,\left[ \left[ 1\,,\,+\infty \right[ \right[} x^{2\,k} - x^{2\,k + 1}\;</math> d'où <math>\;\displaystyle\int_0^xo\left( \xi \right)\;d \xi =</math> <math>\sum\limits_{k\,\in\,\left[ \left[ 1\,,\,+\infty \right[ \right[} \dfrac{x^{2\,k + 1}}{2\,k + 1} - \dfrac{x^{2\,k + 2}}{2\,k + 2}\;</math> soit finalement <math>\;\displaystyle\int_0^xo\left( \xi \right)\;d \xi = \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^4}{4} + \cdots + \dfrac{x^{2\,k + 1}}{2\,k + 1} - \dfrac{x^{2\,k + 2}}{2\,k + 2} + \cdots =</math> <math>x^2 \left[ \dfrac{x}{3} - \dfrac{x^2}{4} + \cdots + \dfrac{x^{2\,k - 1}}{2\,k + 1} - \dfrac{x^{2\,k}}{2\,k + 2} + \cdots \right]\;</math> ou <math>\;\displaystyle\int_0^xo\left( \xi \right)\;d \xi = x^2 \left[ \sum\limits_{k\,\in\,\left[ \left[ 1\,,\,+\infty \right[ \right[} \dfrac{x^{2\,k - 1}}{2\,k + 1} - \dfrac{x^{2\,k}}{2\,k + 2} \right]\;</math> dont on déduit <math>\;\dfrac{\displaystyle\int_0^x o\left( \xi \right)\;d \xi}{x^2} = \sum\limits_{k\,\in\,\left[ \left[ 1\,,\,+\infty \right[ \right[} \dfrac{x^{2\,k - 1}}{2\,k + 1} - \dfrac{x^{2\,k}}{2\,k + 2} = \dfrac{x}{3} - \dfrac{x^2}{4} + \cdots + \dfrac{x^{2\,k - 1}}{2\,k + 1} - \dfrac{x^{2\,k}}{2\,k + 2} + \cdots\;</math> tendant vers 0 quand <math>\;x \rightarrow 0\;</math> et établissant que <math>\;\displaystyle\int_0^xo\left( \xi \right)\;d \xi\;</math> est effectivement un <math>\;o\left( x^2 \right)</math> ;<br><span style="color:#ffffff;"><small>...</small></span>la série de {{1er}} terme <math>\;u_1 = \dfrac{x}{3}</math>, de 2<sup>ème</sup> terme <math>\;u_2 = -\dfrac{x^2}{4}</math>, de <math>2\,k - 1</math><sup>ème</sup> terme <math>\;u_{2\,k - 1} = \dfrac{x^{2\,k - 1}}{2\,k + 1}</math>, <math>2\,k</math><sup>ème</sup> terme <math>\;u_{2\,k} = -\dfrac{x^{2\,k}}{2\,k + 2}</math> <math>\;\ldots\;</math> est alternée et telle que <math>\;\vert u_n \vert \searrow\;</math> et <math>\;\rightarrow 0\;</math> quand <math>\;n \rightarrow +\infty</math>, elle est donc convergente <math>\;\Big(</math>ce qui signifie, rappelons-le, que <math>\;\lim\limits_{n\,\rightarrow\,\infty} \sum\limits_{m = 1 .. n} u_m\;</math> existe et est finie<math>\Big)</math> ; de plus chaque terme tendant vers 0 quand <math>\;x \rightarrow 0</math>, la limite finie ne peut qu'être nulle (en effet une somme infinie de termes tendant tous vers zéro ne peut qu'être nulle ou infinie).</ref>, ce qui est effectivement le D.L. de <math>\;\ln(1 + x)\;</math> à l'ordre deux2 au voisinage de zéro.
 
=== Par intégration du D.L. à l'ordre ''p'' d'une fonction au voisinage de zéro, détermination du D.L. à l'ordre ''p'' + 1 de n'importe laquelle de ses primitives au même voisinage ===
 
<span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Si l'on connaît le D.L. à l'ordre ''p'' d'une fonction <math>\;f\;</math> de classe <math>\;C^{\infty}\;</math> au voisinage de zéro, on peut déterminer, en intégrant terme à terme, le D.L. à l'ordre ''p'' + 1 de n'importe laquelle de ses primitives <math>\;C + \displaystyle\int_0^x f(\xi)\;d \xi\;</math> au même voisinage de zéro, le terme d'ordre zéro0 étant la valeur de la primitive en zéro à savoir <math>\;C\;</math><ref> La justification a le même fondement que celui exposé au paragraphe précédent, en particulier la démonstration du fait que <math>\;\displaystyle\int_0^xo\left( \xi^p \right)\;d \xi\;</math> est un <math>o\left( x^{p + 1} \right)\;</math> est la même dans la mesure où la fonction de départ est de classe <math>\;C^{\infty}</math>.</ref>.
 
<span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>La propriété précédente reste applicable pour une fonction de classe <math>\;C^{\,n}\;</math> avec ''n'' fini [dans ces conditions n'importe quelle primitive est de classe <math>\;C^{\,n + 1}\big]\;</math> mais la démonstration du fait que <math>\;\displaystyle\int_0^xo\left( \xi^p \right)\;d \xi\;</math> avec ''p'' < ''n'' est un <math>o\left( x^{p + 1} \right)\;</math> est nécessairement différente<ref>En effet, si <math>\;f\;</math> est de classe <math>\;C^{\,n}</math>, on peut affirmer que le reste de son D.L. à l'ordre ''p'' au voisinage de zéro c'est-à-dire <math>\;f(x) - \left\lbrace \mathrm{D.L.}_p\left[ f \right](x) \right\rbrace\;</math> noté <math>o\left( x^p \right)\;</math> peut être décomposé en une somme finie de monômes de degré > ''p'' mais <math>\;\leqslant n\;</math> et d'un dernier terme différent d'un monôme correspondant à <math>o\left( x^n \right)</math>, l'ensemble représentant la partie tronquée de tout D.L. de <math>\;f\;</math> à un ordre strictement supérieur à ''p'', c'est donc la partie non monomiale <math>o\left( x^n \right)</math> due au fait que la classe de <math>\;f\;</math> est finie qui complique la démonstration.</ref> (et non fournie).
Ligne 127 :
=== Détermination progressive des D.L. d'ordre de plus en plus élevé des fonctions trigonométriques sinus et cosinus par intégration ===
 
==== Déduire du D.L. à l'ordre deux2 de sin au voisinage de zéro celui à l'ordre trois3 de cos au même voisinage ====
 
<span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Connaissant le D.L. à l'ordre deux2 de la fonction sinus au voisinage de zéro <math>\;\sin(x) = x +o\left( x^2 \right)\;</math> et
 
<span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>intégrant la fonction sinus entre <math>0</math> et <math>\;x\;</math> selon <math>\;\displaystyle\int_0^x \sin(\xi)\;d \xi = \left[ -\cos(\xi) \right]_0^x = 1 - \cos(x)\;</math> dont on déduit <math>\;\cos(x) = 1 - \displaystyle\int_0^x \sin(\xi)\;d \xi</math>,
 
<span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>on intègre terme à terme le D.L. à l'ordre deux2 de la fonction sinus au voisinage de zéro <math>\;\displaystyle\int_0^x \sin(\xi)\;d \xi = \dfrac{x^2}2+o\left( x^3 \right)\;</math> pour
 
<span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>en déduire le D.L. à l'ordre trois3 de la fonction cosinus au voisinage de zéro soit <math>\;\cos(x) = 1 - \displaystyle\int_0^x \sin(\xi)\;d \xi = 1 - \dfrac{x^2}2+o\left( x^3 \right)\;</math><ref name="transformation de -petit o"> On a utilisé le fait que <math>-o\left( x^3 \right)\;</math> est un <math>o\left( x^3 \right)</math>.</ref>.
 
==== Déduire du D.L. à l'ordre trois3 de cos au voisinage de zéro celui à l'ordre quatre4 de sin au même voisinage ====
 
<span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>À partir du D.L. à l'ordre trois3 de la fonction cosinus au voisinage de zéro <math>\;\cos(x) = 1 - \dfrac{x^2}{2} +o\left( x^3 \right)\;</math> et
 
<span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>intégrant la fonction cosinus entre 0 et <math>\;x\;</math> selon <math>\;\displaystyle\int_0^x \cos(\xi)\;d \xi = \left[ \sin(\xi) \right]_0^x = \sin(x)</math>,
 
<span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>on intègre terme à terme le D.L. à l'ordre trois3 de la fonction cosinus au voisinage de zéro <math>\;\displaystyle\int_0^x \cos(\xi)\;d \xi = x - \dfrac{x^3}{3 \times 2} +o\left( x^4 \right)\;</math> pour
 
<span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>en déduire le D.L. à l'ordre quatre4 de la fonction sinus au voisinage de zéro soit <math>\;\sin(x) = x - \dfrac{x^3}6+o\left( x^4 \right)</math>.
 
==== Déduire du D.L. à l'ordre quatre4 de sin au voisinage de zéro celui à l'ordre cinq5 de cos au même voisinage ====
 
<span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>À partir du D.L. à l'ordre quatre4 de la fonction sinus au voisinage de zéro <math>\;\sin x= x - \dfrac{x^3}6 +o\left( x^4 \right)\;</math> et
 
<span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>ayant établi précédemment que <math>\;\cos x= 1 - \displaystyle\int_0^x \sin(\xi)\;d \xi</math>,
 
<span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>on intègre terme à terme le D.L. à l'ordre quatre4 de la fonction sinus au voisinage de zéro <math>\;\displaystyle\int_0^x \sin(\xi)\;d \xi = \dfrac{x^2}2- \dfrac{x^4}{4 \times 6} +o\left( x^5 \right)\;</math> pour
 
<span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>en déduire le D.L. à l'ordre cinq5 de la fonction cosinus au voisinage de zéro soit <math>\;\cos x= 1 - \displaystyle\int_0^x \sin(\xi)\;d \xi = 1 - \dfrac{x^2}2+ \dfrac{x^4}{24} +o\left( x^5 \right)\;</math><ref name="transformation de -petit o"/> …
 
== Trouver le développement limité d'une fonction « produit (ou quotient) de deux autres fonctions » ==
Ligne 173 :
<span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>bien sûr la remarque précédente faite lors du développement du produit des D.L. des composants <math>\;u(x)\;</math> et <math>\;\dfrac{1}{v(x)} = \dfrac{1}{v(0)}\, \left[ \dfrac{v(x)}{v(0)} \right]^{-1}\;</math> doit également être suivie …
 
=== Détermination du D.L. à l'ordre quatre4 de la fonction tangente au voisinage de zéro à partir de celui des fonctions sinus et cosinus au même ordre et au même voisinage ===
 
<span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>À partir du D.L. à l'ordre quatre4 de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \sin x= x - \dfrac{x^3}6+o\left( x^4 \right)\\ \cos(x) = 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} +o\left( x^4 \right)\end{array}\right\rbrace\;</math> au voisinage de zéro et de la définition de <math>\;\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\;</math> on peut déterminer le D.L. à l'ordre quatre4 de cette dernière au même voisinage de zéro et pour cela il convient d'abord de
 
* déterminer le D.L. d'ordre quatre4 en <math>\;x\;</math> de <math>\;\dfrac{1}{\cos(x)} = \left[ 1 + \alpha(x) \right]^{-1}\;</math> avec <math>\;\alpha(x) = -\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} +o\left( x^4 \right)\;</math> infiniment petit dont le terme principal étant d'ordre deux2 en <math>\;x\;</math> implique qu'il suffira d'utiliser le D.L. de <math>\;\left[ 1 + \alpha(x) \right]^{-1}\;</math> à l'ordre deux2 en <math>\;\alpha(x)\;</math> pour avoir le D.L. à l'ordre quatre4 en <math>\;x\;</math> de <math>\;\left[ 1 + \alpha(x) \right]^{-1}\;</math> soit <math>\;\left[ 1 + \alpha(x) \right]^{-1} =</math> <math>1 - \alpha(x) + \alpha^2(x) +o\left[ \alpha^2(x) \right]\;</math><ref name="valable à l'ordre quatre4 en x"> Lequel doit être nécessairement tronqué à l'ordre quatre4 en <math>\;x</math>, compte-tenu de la troncature initiale du D.L. de <math>\;\cos(x)</math>.</ref> avec <math>\;\alpha(x) = -\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} +o\left( x^4 \right)\;</math> et <math>\;\alpha^2(x) =</math> <math>\left( -\dfrac{x^2}2\right)^{\!\!2} +o\left( x^4 \right) = \dfrac{x^4}4+o\left( x^4 \right)\;</math><ref name="valable à l'ordre quatre4 en x - bis"> En effet dans <math>\;\alpha^2(x) = \left( -\dfrac{x^2}2\right)^{\!\!2} - 2 \left( -\dfrac{x^2}2\right) \dfrac{x^4}{24} + \left( \dfrac{x^4}{24} \right)^{\!\!2} + 2 \left( -\dfrac{x^2}{2} \right)o\left( x^4 \right) + 2\; \dfrac{x^4}{24}\;o\left( x^4 \right) + \left[o\left( x^4 \right) \right]^2\;</math> tous les termes, à l'exception du {{1er}}, sont des <math>o\left( x^4 \right)</math>.</ref> d'où, en reportant ces expressions limitées à l'ordre quatre4 en <math>\;x\;</math> on obtient <math>\;\dfrac{1}{\cos(x)} =</math> <math>1 - \left[ -\dfrac{x^2}2+ \dfrac{x^4}{24} +o\left( x^4 \right) \right] + \left[ \dfrac{x^4}{4} +o\left( x^4 \right) \right] + \left[o\left( x^4 \right) \right] = 1 + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{5\;x^4}{24} +o\left( x^4 \right)\;</math> puis de
* déterminer le D.L. d'ordre 4 en <math>\;x\;</math> de <math>\;\tan(x) = \sin(x)\;\dfrac{1}{\cos(x)}\;</math> à partir de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \sin(x) = x - \dfrac{x^3}6+o\left( x^4 \right)\\ \dfrac{1}{\cos(x)} = 1 + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{5\;x^4}{24} +o\left( x^4 \right)\end{array}\right\rbrace\;</math> sans omettre de pratiquer la troncature à l'ordre quatre4 dans le développement du produit des D.L. soit <math>\;\tan(x) =</math> <math>\left[ x - \dfrac{x^3}6+o\left( x^4 \right) \right] \times 1 + \left[ x +o\left( x^2 \right) \right] \times \dfrac{x^2}{2} + \left[o\left( 0 \right) \right] \times \dfrac{5\;x^4}{24}\; \cancel{+ \left [ 0 \right] \times o\left( x^4 \right)}\;</math><ref> La méthode de développement du produit consistant à associer chaque terme du D.L. de <math>\;\dfrac{1}{\cos(x)}\;</math> au D.L. de <math>\;\sin(x)\;</math> mais limité à un ordre adéquat par exemple le 2<sup>ème</sup> terme du D.L. de <math>\;\dfrac{1}{\cos x}\;</math> étant un infiniment petit d'ordre deux2, on lui associe le D.L. à l'ordre deux2 de <math>\sin</math> ou le 3<sup>ème</sup> terme du D.L. de <math>\;\dfrac1{\cos x}\;</math> étant un infiniment petit d'ordre quatre4, on lui associe le D.L. à l'ordre zéro0 de <math>\;\sin(x)\;\ldots</math></ref> d'où
<center><math>\;\tan(x) = x + \dfrac{x^3}3+o\left( x^4 \right)</math><ref> On peut vérifier ce résultat directement en utilisant le théorème de Taylor-Young sachant que
* <math>\;\tan0= 0\;</math> <math>\Rightarrow\;</math> le terme constant dans le D.L. est <math>\;0</math>,
* <math>\;\dfrac{d \left[ \tan x\right]}{dx} = \dfrac{1}{\cos^2x}\;</math> <math>\Rightarrow\;</math> le cœfficient de <math>\;x\;</math> dans le D.L. vaut <math>\;\dfrac1{\cos^20} = 1</math>,
* <math>\;\dfrac{d^2 \left[ \tan x\right]}{dx^2} = \dfrac{d \left[ \cos^{-2}x\right]}{dx} = -2\, \cos^{-3}x, \left[ -\sin x\right] = \dfrac{2\, \sin x}{\cos^3x}</math> <math>\Rightarrow\;</math> le cœfficient de <math>\;\dfrac{x^2}2</math> dans le D.L. vaut <math>\;\dfrac{2\, \sin0}{\cos^30} = 0</math>, en accord avec le fait que <math>\tan</math> étant impaire, son D.L. ne doit contenir que des termes impairs,
* <math>\;\dfrac{d^3 \left[ \tan x\right]}{dx^3} = \dfrac{d \left[ 2\, \sin x\, \cos^{-3}x\right]}{dx} = 2\, \cos x\, \cos^{-3}x+ 2\, \sin x\left\lbrace -3\, \cos^{-4}x\left[ -\sin x\right] \right\rbrace = \dfrac{2\, \cos^2x+ 6\, \sin^2x}{\cos^4x}\;</math> <math>\Rightarrow\;</math> le cœfficient de <math>\;\dfrac{x^3}{3!} = \dfrac{x^3}6</math> dans le D.L. vaut <math>\;\dfrac{2\, \cos^20+ 6\, \sin^20}{\cos^40} = 2</math> d'où le terme d'ordre trois3 <math>\;\dfrac{x^3}3</math> et
* enfin le cœfficient de <math>\;\dfrac{x^4}{4!} = \dfrac{x^4}{24}\;</math> dans le D.L. vaut <math>0</math> car <math>\tan</math> étant impaire son D.L. ne doit contenir que des termes impairs.</ref>.</center>
 
Ligne 198 :
<span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>pour terminer le produit du D.L. de <math>\;\alpha(x)\;v(x)\;</math> à l'ordre > ''n – p'' par l'infiniment petit <math>\;x^p\;</math> d'ordre ''p'' conduit effectivement au D.L. du produit <math>\;p(x) = u(x)\; v(x)\;</math> à l'ordre ''n''.
{{ propriété | titre = D.L. d'un produit dont l'un des facteurs est équivalent à un infiniment petit d'ordre ''p''|contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Cherchant à déterminer le D.L. à l'ordre ''n'' d'un produit <math>\;p(x) = u(x)\; v(x)\;</math> au voisinage de zéro <br><span style="color:#ffffff;"><small>............</small></span>avec le D.L. de <math>\;u(x)\;</math> à l'ordre ''n'' ayant pour terme prépondérant un infiniment petit d'ordre ''p'' < ''n'', <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>il suffit de prendre le D.L. de <math>\;v(x)\;</math> à l'ordre ''n – p'' pour en faire le produit avec le D.L. de <math>\;u(x)</math>.}}
* Pour déterminer le D.L. à l'ordre un1 de <math>\;p(x) = u(x)\; v(x)\;</math> quand <math>\;u(x)\;</math> est un infiniment petit d'ordre un1, il suffit de prendre le D.L. de <math>\;v(x)\;</math> à l'ordre zéro0,
* pour déterminer le D.L. à l'ordre deux2 de <math>\;p(x) = u(x)\; v(x)\;</math> quand <math>\;u(x)\;</math> est un infiniment petit d'ordre un1, il suffit de prendre le D.L. de <math>\;v(x)\;</math> à l'ordre un1,
* pour déterminer le D.L. à l'ordre trois3 de <math>\;p(x) = u(x)\; v(x)\;</math> quand <math>\;u(x)\;</math> est un infiniment petit d'ordre un1, il suffit de prendre le D.L. de <math>\;v(x)\;</math> à l'ordre deux …2…
 
===Cas d'un quotient dont le numérateur est un infiniment petit===
Ligne 212 :
<span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>pour terminer le produit du D.L. de <math>\;\alpha(x)\;\dfrac{1}{v(x)}\;</math> à l'ordre > ''n – p'' par l'infiniment petit <math>\;x^p\;</math> d'ordre ''p'' conduit effectivement au D.L. du produit <math>\;q(x) =</math> <math>u(x)\;\dfrac{1}{v(x)}\;</math> à l'ordre ''n''.
{{ propriété | titre = D.L. d'un quotient dont le numérateur est un infiniment petit|contenu = <span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>Cherchant à déterminer le D.L. à l'ordre ''n'' d'un quotient <math>\;q(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)}\;</math> au voisinage de zéro <br><span style="color:#ffffff;"><small>............</small></span>avec le D.L. de <math>\;u(x)\;</math> à l'ordre ''n'' ayant pour terme prépondérant un infiniment petit d'ordre ''p'' < ''n'', <br><span style="color:#ffffff;"><small>......</small></span>il suffit de prendre le D.L. de <math>\;v(x)\;</math> à l'ordre ''n – p'' pour en déduire celui de <math>\;\dfrac1v\;</math> au même ordre et en faire le produit avec le D.L. de <math>u</math>.}}
* Pour déterminer le D.L. à l'ordre un1 de <math>\;q(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)}\;</math> quand <math>\;u(x)\;</math> est un infiniment petit d'ordre un1, il suffit de prendre de D.L. de <math>\;v(x)\;</math> à l'ordre zéro0,
* pour déterminer le D.L. à l'ordre deux2 de <math>\;q(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)}\;</math> quand <math>\;u(x)\;</math> est un infiniment petit d'ordre un1, il suffit de prendre de D.L. de <math>\;v(x)\;</math> à l'ordre un1,
* pour déterminer le D.L. à l'ordre trois3 de <math>\;q(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)}\;</math> quand <math>\;u(x)\;</math> est un infiniment petit d'ordre un1, il suffit de prendre de D.L. de <math>\;v(x)\;</math> à l'ordre deux …2…
 
== Notes et références ==