« Statique des fluides (PCSI)/Éléments de statique des fluides dans un référentiel galiléen : Statique dans le champ de pesanteur uniforme » : différence entre les versions

{{Al|5}}Considérant un fluide soumis à un champ de pesanteur uniforme en équilibre dans un référentiel galiléen, la seule force volumique s’exerçant sur le fluide étant la force de pesanteur et les seules forces surfaciques les « forces pressantes exercées sur chaque particule de fluide de la part du reste de fluide » <ref name="nullité des forces de viscosité"> Les forces pressantes sont les seules forces surfaciques car les forces de viscosité sont nulles en absence de glissement des particules de fluide les unes sur les autres.</ref>, nous nous proposons de <br>{{Al|5}}déterminer le lien existant entre la force volumique de pesanteur et la variation de la pression à l'intérieur du fluide en équilibre dans le référentiel d'étude galiléen.

{{Al|5}}Soit une particule de fluide centrée en <math>\;M</math>, de forme cylindrique dont la section droite est horizontale d’aire élémentaire <ref name="élémentaire"> Élémentaire du point de vue macroscopique, la grandeur considérée étant d'échelle « mésoscopique ».</ref> <math>\;d^2 S\;</math> et dont les bases sont respectivement situées aux «  altitudes <math>\;z\;</math> et <math>\;z + dz\;</math> » <ref name="altitude"> Le substantif « altitude » impliquant que l’axe vertical est orienté vers le haut <math>\;\big(</math>pour un axe vertical orienté vers le bas on emploierait le substantif « profondeur »<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\big(dz\;</math> étant une variation élémentaire <ref name="élémentaire" /><math>\big)\;</math> en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme « <math>\;\vec{g} = -g\;\vec{u}_z\;</math> » <math>\;\Big\{g = \Vert \vec{g} \Vert\;</math> étant l'intensité de la pesanteur<math>\Big\}</math>, la «  masse volumique de fluide <math>\;\big(</math>non nécessairement constante<math>\big)\;</math> » étant notée « <math>\;\mu(M)\;</math> » <ref name="indépendance du temps"> Dans le cadre de l'étude d'un équilibre, les grandeurs introduites sont nécessairement indépendantes de <math>\;t</math>.</ref> et le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> par rapport auquel nous nous proposons d'étudier l'équilibre du fluide est galiléen <math>\;\big\{</math>voir le schéma ci-contre <math>\;\big(</math>le cylindre a été représenté de révolution d’axe <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;Oz\;</math> mais la base n’est pas nécessairement un disque<math>\big)\big\}</math> ;

{{Al|5}}les forces extérieures s'exerçant sur la particule de fluide « <math>\;M\, \left( d^3 \mathcal{V} = d^2S\;dz \right)\;</math> » <ref name="notation d3V"> Le volume de la particule de fluide noté jusqu'à présent <math>\;d \mathcal{V}_M</math> <math>\;\big(</math>ou plus simplement <math>\;d \mathcal{V}\big)\;</math> l'est «<math>\;d^3 \mathcal{V}\;</math>» pour rappeler que c'est un infiniment petit d'ordre trois, produit d'un infiniment petit d'ordre deux {{Nobr|«<math>\;d^2S\;</math>»}} et d'un infiniment petit d'ordre un «<math>\;dz\;</math>».</ref> étant :

* les forces pressantes <math>\;\big(</math>forces surfaciques<math>\big)\;</math> <br><math>\;\succ\;</math>sur la base supérieure « <math>\;\overrightarrow{d^2F}_{S,\,\text{sup}} = -p(M_{\text{sup}})\; d^2S\; \vec{u}z\;</math> » <ref name="définition de Msup et Minf"> <math>\;M_{\text{sup}}\;</math> et <math>\;M_{\text{inf}}\;</math> étant respectivement les projetés orthogonaux de <math>\;M\;</math> sur les bases supérieure et inférieure.</ref>, <br><math>\;\succ\;</math>sur la base inférieure « <math>\;\overrightarrow{d^2F}_{S,\,\text{inf}} = p(M_{\text{inf}})\; d^2S\; \vec{u}z\;</math> » <ref name="définition de Msup et Minf" /> et <br><math>\;\succ\;</math>sur la surface latérale « <math>\;\overrightarrow{d^3F}_{S,\,\text{lat}}(M_{\text{lat}}) = -p(M_{\text{lat}})\;\overrightarrow{d^3S}_{\text{lat}}(M_{\text{lat}})\;</math> » <ref name="définition de Mlat"> <math>\;M_{\text{lat}}\;</math> étant un point quelconque de la surface latérale choisi sur le schéma à la même altitude que <math>\;M</math>.</ref>{{,}} <ref name=notation d3Slat"> L'aire de la surface latérale totale infiniment petite d'ordre deux étant notée <math>\;d^2 S_{\text{lat}}\;</math> et considérant, centrée sur <math>\;M_{\text{lat}}</math>, une portion élémentaire de cette surface latérale totale, l'aire de cette portion élémentaire est notée «<math>\;d^3 S_{\text{lat}}\;</math>» en tant que infiniment petite d'ordre trois.</ref>,

{{Al|5}}nous en déduisons la « C.N. <ref name="C.N."> Condition Nécessaire.</ref> d’équilibre de la particule dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » à savoir « la somme des forces extérieures appliquées à la particule en équilibre est égale à <math>\;\vec{0}\;</math>» <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition Suffisante.</ref> si la particule de fluide est initialement au repos <math>\;\big(</math>ce qui doit évidemment être envisagé pour un équilibre<math>\big)</math>, sinon la C.N. <ref name="C.N." /> correspondant à une absence d’accélération, la particule de fluide aurait un mouvement rectiligne uniforme dans le référentiel d'étude galiléen<math>\big\}</math>.

* La seule force « active » étant le poids vertical, les forces « réactives » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les forces de pression<math>\big)\;</math> se compensent horizontalement et, si on considère un cylindre à bases adaptées au système de coordonnées cartésiennes c.-à-d. « rectangulaires de côtés <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;Ox\;</math> et à <math>\;Oy\;</math>» <math>\;\Big(</math>par exemple <math>\;\overrightarrow{Ox}\;\perp\;</math> au plan de la figure ci-dessus et venant vers le lecteur, <math>\;\overrightarrow{Oy}\;</math> dans le plan de la figure <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> et orienté vers la droite tel que le trièdre <math>\;\left\lbrace \overrightarrow{Ox}\,,\,\overrightarrow{Oy}\,,\,\overrightarrow{Oz} \right\rbrace\;</math> soit orthogonal direct<math>\Big)</math>, nous en déduisons que <br><math>\;\succ\;</math>les forces pressantes s’exerçant sur les surfaces latérales <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;Oyz</math>, de direction <math>\;Ox</math> <math>\;\big(\perp\;</math> au plan de la figure ci-dessus<math>\big)\;</math> se compensent d'où <center>« <math>\;p(M_{\text{lat, arrière}})\; dy\;dz\; \vec{u}_x - p(M_{\text{lat, avant}})\; dy\;dz\; \vec{u}_x = \vec{0}\;</math> » <ref name="définition de Mlat,arrière et Mlat,avant"> <math>\;M_{\text{lat, arrière}}\;</math> et <math>\;M_{\text{lat, avant}}\;</math> étant respectivement les projetés orthogonaux de <math>\;M\;</math> sur les surfaces latérales arrière <math>\;\bigg(</math>d'abscisse <math>\;x - \dfrac{dx}{2}\bigg)\;</math> et avant <math>\;\bigg(</math>d'abscisse <math>\;x + \dfrac{dx}{2}\bigg)\;</math> d'aire commune <math>\;dy\;dz</math>.</ref></center> {{Al|6}}dont nous tirons, en projetant sur <math>\;\vec{u}_x\;</math> et en simplifiant par <math>\;dy\;dz</math>, « <math>\;p(M_{\text{lat, arrière}}) = p(M_{\text{lat, avant}})\;</math> » <ref name="définition de Mlat,arrière et Mlat,avant" /> correspondant à l’« indépendance de la pression relativement à <math>\;x\;</math>» et que <br><math>\;\succ\;</math>les forces pressantes s’exerçant sur les surfaces latérales <math>\;\parallel\;</math> à <math>\;Oxz</math>, de direction <math>\;Oy</math> <math>\;\big(</math>dans le plan de la figure ci-dessus <math>\;\perp\;</math> à <math>\;Oz\big)\;</math> se compensent d'où <center>« <math>\;p(M_{\text{lat, gauche}})\; dx\;dz\; \vec{u}_y - p(M_{\text{lat, droite}})\; dx\;dz\; \vec{u}_y = \vec{0}\;</math> » <ref name="définition de Mlat,gauche et Mlat,droite"> <math>\;M_{\text{lat, gauche}}\;</math> et <math>\;M_{\text{lat, droite}}\;</math> étant respectivement les projetés orthogonaux de <math>\;M\;</math> sur les surfaces latérales gauche <math>\;\bigg(</math>d'ordonnée <math>\;y - \dfrac{dy}{2}\bigg)\;</math> et droite <math>\;\bigg(</math>d'ordonnée <math>\;y + \dfrac{dy}{2}\bigg)\;</math> d'aire commune <math>\;dx\;dz</math>.</ref></center> {{Al|6}}dont nous tirons, en projetant sur <math>\;\vec{u}_y\;</math> et en simplifiant par <math>\;dx\;dz</math>, « <math>\;p(M_{\text{lat, gauche}}) = p(M_{\text{lat, droite}})\;</math> » <ref name="définition de Mlat,gauche et Mlat,droite" /> correspondant à l’« indépendance de la pression relativement à <math>\;y\;</math>» d'où <br><math>\;\succ\;</math>une 1^ère conséquence sur la variation de la pression avec les coordonnées du centre <math>\;M\;</math> de la particule de fluide en équilibre dans le champ de pesanteur uniforme <center>« <u>la pression</u> en un point <math>\;M\;</math> <u>d'un fluide en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme ne dépend que de l'altitude</u><math>\underline{\;z}\;</math> de <math>\;M\;</math>».</center>

* La force « active » c.-à-d. le poids « étant verticale descendante », la somme des forces « réactives » c.-à-d. la somme des forces pressantes sur les bases inférieure et supérieure <math>\;\big(</math>puisque les forces pressantes sur la surface latérale se compensent<math>\big)\;</math> « doit être verticale ascendante » <math>\Rightarrow</math> la force pressante sur la base inférieure est de norme plus grande que celle sur la base supérieure d'où <center>« <u>la pression est d’autant plus petite que l’altitude est grande</u> » <br>c.-à-d. «<math>\;p(z)\;</math> est une fonction <math>\;\searrow\;</math> de <math>\;z\;</math>» ;</center> la projection sur <math>\;\vec{u}_z\;</math> de la C.N. <ref name="C.N." /> d'équilibre du fluide soumis à un champ de pesanteur uniforme dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen nous conduisant à « <math>\;-p(M_{\text{sup}})\; d^2S + p(M_{\text{inf}})\; d^2S -\mu(M)\; d^2S\; dz\; g = 0\;</math> » <ref name="définition de Msup et Minf" /> se réécrit «<math>\;-p\! \left( z + \dfrac{dz}{2} \right)\, d^2S + p\! \left( z - \dfrac{dz}{2} \right)\, d^2S - \mu(M)\; d^2S\; dz\; g = 0\;</math>» soit, en effectuant le «  D.L. <ref name="D.L."> Développement limité.</ref> de <math>\;p\! \left( z + \dfrac{dz}{2} \right)\,</math> et de <math>\;p\! \left( z - \dfrac{dz}{2} \right)\,</math> à l'ordre un en <math>\;dz\;</math> au voisinage de <math>\;z\;</math> » <ref name="D.L. à l'ordre un d'une fonction d'une variable"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Développements_limités_à_l'ordre_un_dordre_1_d'une_fonction_d'une_variable|développementsDéveloppements limités à l'ordre un1 d'une fonction d'une variable]] » du chap.<math> 14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\Rightarrow</math> {{Nobr|«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l}p\! \left( z + \dfrac{dz}{2} \right) \simeq p(z) + \dfrac{dp}{dz}(z)\;\dfrac{dz}{2}\\ p\! \left( z - \dfrac{dz}{2} \right) \simeq p(z) - \dfrac{dp}{dz}(z)\;\dfrac{dz}{2} \end{array}\right\rbrace\;</math>»}} <math>\Rightarrow</math> « <math>\;-p\! \left( z + \dfrac{dz}{2} \right) + p\! \left( z - \dfrac{dz}{2} \right) \simeq - \dfrac{dp}{dz}(z)\;dz\;</math> qui s'identifie à l'opposé de la différentielle de la pression soit <math>\;-dp\;</math> » <ref name="définition de la différentielle d'une fonction d'une variable"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Différentielle_d'une_fonction_d'une_variable#Différentielle_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable|différentielleDifférentielle d'une fonction scalaire d'une variable]] » du chap.<math> 4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> d'où en multipliant par <math>\;-1\;</math> et en simplifiant par <math>\;d^2S\;</math> la réécriture de la C.N. <ref name="C.N." /> d'équilibre du fluide soumis à un champ de pesanteur uniforme dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <center>«<math>\;dp(M) + \mu(M)\;g\; dz = 0\;</math>» <math>\;\big(</math>quand <math>\;z\, \nearrow</math>, <math>\;dz\;</math> est <math>\;> 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;dp\;</math> est <math>\;< 0</math>, donc <math>\;p\,\searrow\big)\;</math> <br>avec <math>\;Oz\;</math> axe vertical ascendant <math>\;\big(z\;</math> étant l'altitude de <math>\;M\big)</math>, </center> la relation «<math>\;dp(M) + \mu(M)\;g\; dz = 0\;</math>» étant la « <u>forme différentielle de la r.f.s.f.</u> <ref name="r.f.s.f."> Relation fondamentale de la Statique des Fluides.</ref> dans un référentiel galiléen pour un fluide en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme ».

{{Al|5}}La <u>forme différentielle de la r.f.s.f.</u> <ref name="r.f.s.f." /> dans un référentiel galiléen pour un fluide en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme avec l'axe vertical <math>\;Oz\;</math> orienté dans le sens descendant <math>\;\big(z\;</math> représentant alors la profondeur du point <math>\;M\big)\;</math> s'obtient à partir de la forme différentielle de la r.f.s.f. <ref name="r.f.s.f." /> avec <math>\;Oz\;</math> orienté dans le sens ascendant en changeant <math>\;z\;</math> en <math>\;-z\;</math> soit <center>«<math>\;dp(M) - \mu(M)\;g\; dz = 0\;</math>» <math>\;\big(</math>quand <math>\;z\, \nearrow</math>, <math>\;dz\;</math> est <math>\;> 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;dp\;</math> est <math>\;> 0</math>, donc <math>\;p\,\nearrow\big)\;</math> <br>avec <math>\;Oz\;</math> axe vertical descendant <math>\;\big(z\;</math> étant la profondeur de <math>\;M\big)</math>.</center>

{{Al|5}}Sachant que le « gradient d'un champ scalaire de l'espace <math>\;s(M)\;</math>» noté <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ s \right](M)\;</math> est « le champ vectoriel tel que sa circulation élémentaire <ref name="circulation élémentaire"> La circulation élémentaire d'un champ vectoriel <math>\;\vec{A}(M)\;</math> est <math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{A}) = \vec{A}(M)\! \cdot\! \overrightarrow{dM}\;</math> <math>\rightsquigarrow</math> voir paragraphe « [[Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Intégrale sur un intervalle, vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe et intégrale curviligne#Circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courbe continue|circulationCirculation élémentaire d'un champ vectoriel]] » du chap.<math> 15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est égale à la différentielle de la fonction scalaire {{Nobr|<math>\;s(M)\;</math>»}} dont il « dérive » c.-à-d. « <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ s \right](M) \cdot \overrightarrow{dM} = ds(M)\;</math> » <ref name="définition intrinsèque d'un gradient"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définitionDéfinition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math> 19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>,

{{Al|5}}la forme différentielle de la r.f.s.f. <ref name="r.f.s.f." /> pour un fluide en équilibre soumis à un champ de pesanteur uniforme dans un référentiel galiléen «<math>\;dp(M) + \mu(M)\;g\; dz = 0\;</math> avec <math>\;Oz\;</math> axe vertical ascendant » peut être réécrite selon « <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ p \right](M) \cdot \overrightarrow{dM} + \mu(M)\;g\; dz = 0\;</math> » où « <math>\,\overrightarrow{dM}\;</math> » est un vecteur déplacement élémentaire « quelconque » <ref name="déplacement élémentaire quelconque"> Le caractère « quelconque » du déplacement élémentaire est important dans la suite du raisonnement, la démonstration de la forme différentielle de la r.f.s.f. a été faite avec une particule de fluide cylindrique dont les génératrices étaient <math>\;\parallel\;</math> à l'axe <math>\;Oz\;</math> de façon à pouvoir écrire « <math>\;d^3\mathcal{V} = d^2S\; dz\;</math> », la masse étant alors « <math>\;\mu(M)\; d^3\mathcal{V} = \mu(M)\;d^2S\; dz\;</math> » mais <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}si on considère une particule de fluide cylindrique dont les génératrices sont obliques de direction quelconque <math>\;\parallel\;</math> à <math>\,\overrightarrow{dM}</math> <math>\;\big(</math>correspondant néanmoins à la même hauteur <math>\;dz\big)</math>, le volume du cylindrique oblique s’écrit «<math>\;d^3\mathcal{V}_{\text{oblique}} = \overrightarrow{d^2S}_{\text{base supérieure}} \cdot \overrightarrow{dM} = d^2S\;\Big\Vert \overrightarrow{dM} \Big\Vert\; \cos(\alpha)\;</math>» où <math>\;\alpha = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\, \overrightarrow{dM} \right)}\;</math> est l’angle d’inclinaison des génératrices relativement à la verticale, soit encore, en utilisant {{Nobr|« <math>\;\Big\Vert \overrightarrow{dM} \Big\Vert\; \cos(\alpha) = dz\;</math> »,}} « <math>\;d^3\mathcal{V}_{\text{oblique}} = d^2S\; dz\;</math> » c.-à-d. le même volume « <math>\;d^3\mathcal{V}\;</math> » que le cylindre « droit », ceci entraînant que les cylindres oblique et droit de même volume ayant la même masse ont également le même poids et par suite que l’on a la même variation de pression entre les bases <math>\;\ldots\;</math> ce qui n'est rien d'autre que la même forme différentielle de la r.f.s.f. pour une particule de fluide de forme cylindrique « oblique » en équilibre dans un champ de pesanteur uniforme que celle obtenue pour une particule de fluide de forme cylindrique « droite » en équilibre dans le même champ de pesanteur uniforme à condition que ces deux particules de fluide soient de même hauteur <math>\;dz</math> ; <br>{{Al|3}}en conclusion la forme différentielle de la r.f.s.f. pour un fluide en équilibre soumis à un champ de pesanteur uniforme dans un référentiel galiléen «<math>\;dp(M) + \mu(M)\;g\; dz = 0\;</math> avec <math>\;Oz\;</math> axe vertical ascendant » est indépendante de la forme cylindrique de la particule de fluide utilisée pour la démontrer <math>\;\big(</math>elle ne dépend pas non plus de la nature cylindrique de cette particule, admis pour l'instant<math>\big)</math>.</ref> de composante verticale «<math>\;dz\;</math>» correspondant à la hauteur de la particule de fluide cylindrique précédemment utilisée centrée au point <math>\;M</math> ;

{{Al|5}}injectant «<math>\;dz = \overrightarrow{dM} \cdot \vec{u}_z\;</math>» dans «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ p \right](M) \cdot \overrightarrow{dM} + \mu(M)\;g\; dz = 0\;</math>» nous obtenons «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ p \right](M) \cdot \overrightarrow{dM} + \mu(M)\;g\; \overrightarrow{dM} \cdot \vec{u}_z = 0\;</math>» ou, en utilisant la commutativité de la multiplication scalaire puis en factorisant scalairement par <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> dans le 1^er membre <ref name="factorisation scalaire"> Utilisation de la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l’addition vectorielle « en sens inverse » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autresAutres propriétés]] (de la multiplication scalaire) » du chap.<math> 7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>.</ref>, « <math>\;\left\lbrace \overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ p \right](M) + \mu(M)\;g\; \vec{u}_z \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM} = 0\;</math> » soit encore, l'axe <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> étant ascendant <math>\Rightarrow</math> <math>\;g\;\vec{u}_z = -\vec{g}</math>, la réécriture de la forme différentielle de la r.f.s.f. <ref name="r.f.s.f." /> pour un fluide en équilibre soumis à un champ de pesanteur uniforme dans un référentiel galiléen «<math>\;\left\lbrace \overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ p \right](M) - \mu(M)\;\vec{g} \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM} = 0\;</math>» ;

{{Al|5}}cette dernière relation « <math>\;\left\lbrace \overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ p \right](M) - \mu(M)\;\vec{g} \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM} = 0\;</math> » étant vérifiée quel que soit le vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> nous en déduisons « <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ p \right](M) - \mu(M)\;\vec{g} = \vec{0}\;</math> » ou encore <center>« <math>\;\mu(M)\;\vec{g} - \overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ p \right](M) = \vec{0}\;\;\forall\;M\;</math> du fluide en équilibre soumis au champ de pesanteur <math>\;\vec{g}\;</math> dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen  »<br> cette relation étant la « <u>forme locale de la r.f.s.f.</u> <ref name="r.f.s.f." /> pour un fluide en équilibre soumis à un champ de pesanteur uniforme dans un référentiel galiléen » <br><math>\;\big(</math>l'avantage de la forme locale sur la forme différentielle est que la 1^ère est indépendante du sens d'orientation de l'axe vertical<math>\big)</math>.</center>

{{Al|5}}«<math>\;dz = 0\;</math>» par utilisation de l'une ou l'autre de la forme différentielle de la r.f.s.f. <ref name="r.f.s.f." /> pour le fluide en équilibre soumis au champ de pesanteur uniforme <math>\;\vec{g}\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen à savoir <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}dp(M) + \mu(M)\;g\; dz = 0 &\!\!\text{si }\!\!&\!\!\overrightarrow{Oz}\;\text{est ascendant}\\&\!\!\text{ou }\!\!&\\dp(M) - \mu(M)\;g\; dz = 0 &\!\!\text{si }\!\!&\!\!\overrightarrow{Oz}\;\text{est descendant}\end{array}\right\rbrace\;</math> c.-à-d. que <center> « <u>les isobares du fluide en équilibre</u> soumis au champ de pesanteur uniforme <math>\;\vec{g}\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <u>sont des plans horizontaux</u> ».</center>

{{Al|5}}Nous pouvons aussi déduire de la forme différentielle de la r.f.s.f. <ref name="r.f.s.f." /> pour un fluide en équilibre soumis à un champ de pesanteur uniforme <math>\;\vec{g}\;</math> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen avec <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> vertical ascendant «<math>\;dp(M) + \mu(M)\;g\; dz = 0\;</math>» que « <u>la pression diminue quand l’altitude augmente</u> » car «<math>\;dz > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;dp < 0\;</math>» ainsi que

{{Al|5}}{{Transparent|Nous pouvons aussi déduire }}de la forme différentielle de la r.f.s.f. <ref name="r.f.s.f." /> pour un fluide en équilibre soumis à un champ de pesanteur uniforme <math>\;\vec{g}\;</math> dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen avec <math>\;\overrightarrow{Oz}\;</math> vertical descendant «<math>\;dp(M) - \mu(M)\;g\; dz = 0\;</math>» que « <u>la pression augmente quand la profondeur augmente</u> » car «<math>\;dz > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;dp > 0\;</math>».

{{Al|5}}Par utilisation de la forme locale de la r.f.s.f. <ref name="r.f.s.f." /> pour le fluide en équilibre soumis au champ de pesanteur uniforme <math>\;\vec{g}\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen «<math>\;\mu(M)\;\vec{g} - \overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ p \right](M) = \vec{0}\;</math>» laquelle peut être réécrite «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ p \right](M) = \mu(M)\;\vec{g}\;</math>», nous en déduisons que «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ p \right](M)\;</math> est vertical descendant » et par suite

{{Al|5}}sachant que «  la surface iso-U passant par <math>\;M\;</math> est <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)\;</math> » <ref name="surface iso-U et gradient de U"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Propriétés_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace_U_relativement_aux_surfaces_iso-U|propriétésPropriétés du gradient d'une fonction scalaire de l'espace U relativement aux surfaces iso-U]] » du chap.<math> 19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, la surface isobare passant par <math>\;M\;</math> étant <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ p \right](M)\;</math> vertical est horizontal d'où <center> « <u>les isobares du fluide en équilibre</u> soumis au champ de pesanteur uniforme <math>\;\vec{g}\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen <u>sont des plans horizontaux</u> » et </center>

{{Al|5}}{{Transparent|sachant }}que « <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](M)\;</math> est orienté dans le sens des <math>\;U\;\nearrow\;</math> » <ref name="gradient de U dans le sens de U croissant"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_cartésiennes_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantesComposantes cartésiennes du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math> 19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », si les surfaces iso-U sont les plans <math>\;z = cste</math>, <math>\;U\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> et «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](z) = \dfrac{dU}{dz}(z)\;\vec{u}_z\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ U \right](z)\;</math> est dans le sens de <math>\;U\;\nearrow\;</math> correspondant à <math>\;\dfrac{dU}{dz}(z) > 0\;</math>».</ref>, le caractère vertical descendant de <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\left[ p \right](M)\;</math> <math>\Rightarrow</math> la pression <math>\;\nearrow\;</math> dans le sens vertical descendant c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|sachant }}<math>\succ\;</math>avec un axe vertical <math>\;Oz\;</math> orienté dans le sens ascendant <math>\;\big(z\;</math> repérant alors l'altitude du point<math>\big)\;</math> « <u>la pression augmente quand l'altitude diminue</u> », <br>{{Al|5}}{{Transparent|sachant }}<math>\succ\;</math>avec un axe vertical <math>\;Oz\;</math> orienté dans le sens descendant <math>\;\big(z\;</math> repérant alors la profondeur du point<math>\big)\;</math> « <u>la pression augmente quand la profondeur augmente</u> ».

{{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : La définition d'un G.P. <ref name="G.P."> Gaz Parfait.</ref> donnée ci-après est volontairement incomplète car n'est fournie que la partie nécessaire à l'introduction du « modèle du G.P. <ref name="G.P." /> » de l'atmosphère terrestre <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Statique_des_fluides_(PCSI)/Éléments_de_statique_des_fluides_dans_un_référentiel_galiléen_:_Statique_dans_le_champ_de_pesanteur_uniforme#Modèle_de_l’atmosphère_isotherme_dans_le_champ_de_pesanteur_terrestre_uniforme|modèle de l'atmosphère isotherme dans le champ de pesanteur terrestre uniforme]] » plus loin dans le chapitre<math>\big)</math>, il y manque l’aspect énergétique du G.P. <ref name="G.P." /> qui n'y sera pas utilisé <math>\;\ldots</math>

{{Définition | titre= « Définition (incomplète) » d’un gaz parfait (G.P.) |contenu= {{Al|5}}Un G.P. <ref name="G.P." /> est un gaz pur, « monophasé » <ref name="système monophasé"> Un système est monophasé si ses paramètres locaux <math>\;\big\{</math>c.-à-d. les paramètres ne dépendant pas directement de la quantité <math>\;\big(</math>on qualifiera ces paramètres d'« intensifs »<math>\big)\;</math> comme la température, la pression, la concentration volumique molaire, la masse volumique <math>\;\ldots\big\}\;</math> y sont constants <math>\;\big(</math>les paramètres dépendant directement de la quantité comme le volume, la masse <math>\;\ldots\;</math> seront qualifiés d’« extensifs »<math>\big)</math>.</ref> dans la limite des « faibles densités volumiques entitaires <ref name="entitaire"> Relatif à une entité, le plus souvent l'entité du gaz pur monophasé étant une molécule on remplace « entitaire » par « moléculaire » <math>\;\ldots</math> </ref> » <ref name="faible densité volumique entitaire"> Dans le cas d'un G.P. de molécules la densité volumique moléculaire doit être faible devant celle définie dans les gaz réels à température et pression usuelles c.-à-d. <math>\;10^{25}\;m^{-3}</math> <math>\;\big(</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Descriptions_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre,_généralités#Ordre_de_grandeur_du_nombre_d’entités_dans_un_échantillon_d’échelle_spatiale_mésoscopique|ordre de grandeur du nombre d'entités dans un échantillon d'échelle spatiale mésoscopique]] (remarque) » du chap.<math>1</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] »<math>\big)</math>.</ref> dont la forme locale de l’« équation d’état à l’équilibre thermodynamique <ref name="équilibre thermodynamique"> L’équilibre thermodynamique signifiant que la pression <math>\;\big(</math>équilibre mécanique<math>\big)\;</math> et la température <math>\;\big(</math>équilibre thermique<math>\big)\;</math> sont telles qu’il n’y a pas de mouvement « macroscopique » à l'intérieur du système étudié.</ref> » <ref name="équation d'état"> Les paramètres locaux d'un système <math>\;\big(</math>c.-à-d. les paramètres intensifs<math>\big)\;</math> ne sont pas indépendants pour un système en équilibre thermodynamique mais liés entre eux, le nombre de paramètres intensifs indépendants que l'on peut choisir dans un système en équilibre thermodynamique définissant la « variance » du système, un gaz en équilibre thermodynamique est un système « divariant » <math>\;\big(</math>c.-à-d. dont la « variance » est deux<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}comme nous ne pouvons choisir que deux paramètres intensifs indépendants dans un gaz en équilibre thermodynamique, il existe une relation entre les deux paramètres intensifs usuellement choisis indépendants «<math>\;\left( p\,,\, T \right)\;</math>» et les autres paramètres intensifs définissant, pour chaque autre paramètre intensif, une équation d’état sous forme locale, cette dernière permettant d’évaluer cet autre paramètre intensif en fonction des deux paramètres intensifs choisis indépendants.</ref> est <center>« <math>\;p\;\mathcal{V}_{\text{mol}} = R\;T\;</math> » dans laquelle</center> {{Al|5}}«<math>\;p\;</math> est la pression du gaz en <math>\;Pa\;</math>», « <math>\;T\;</math> la température en <math>\;K\;</math><ref name="K"> Le Kelvin <math>\;\big(</math>symbole <math>\;K\big)\;</math> est l'unité de température « absolue » du S.I. <math>\;\big(</math>Système International<math>\big)\;</math> définie telle que la température « absolue » la plus basse théorique soit <math>\;0\;K</math> ; <br>{{Al|3}}la température « absolue » <math>\;T\;</math> est liée à la température centésimale <math>\;\theta\;</math> repérée en <math>\;\text{°}\,C</math> <math>\;\big(</math>degré Celsius<math>\big)\;</math> par « <math>\;T = \theta + 273{,}15\;</math> » ;<br>{{Al|3}}'''[[w:William_Thomson_(Lord_Kelvin)|William Thomson]] (1824 - 1907)''', connu aussi sous le nom de '''Lord Kelvin''', physicien britannique d'origine irlandaise à qui on doit des avancées significatives en thermodynamique avec, entre autres, l'introduction du zéro absolu correspondant à l'état idéal d'absence d'agitation thermique ; <br>{{Al|34}}il redécouvrit aussi dans les années <math>1840</math> le théorème de Stokes attribué à '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' mathématicien et physicien britannique <math>\;\big[</math>voir note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#cite_note-Stokes-30|³⁰]] » du chap.<math> 28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> mais démontré en premier en <math>1820</math> par '''[[w:Mikhail_Ostrogradski|Mikhaïl Vassilievitch Ostrogradsky]] (1801 - 1862)''' physicien et mathématicien russe <math>\;\big(</math>province de l'Ukraine<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir aussi note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#cite_note-Stokes-30|³⁰]] » du chap.<math> 28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|34}}ce que '''William Thomson''' a apporté en redécouvrant le théorème de Stokes est la formulation particulièrement adaptée à la physique que les anglo-saxons nomment [[w:Théorème_de_Stokes#Sens_physique_de_la_formule_de_Stokes|théorème de Kelvin-Stokes]] concernant la circulation du rotationnel d'un champ vectoriel sur une courbe fermée et sa transformation en flux du champ à travers n'importe quelle surface ouverte s'appuyant sur le contour fermé ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Anders_Celsius|Anders Celsius]] (1701 - 1744)''' est un savant suédois surtout connu pour avoir été à l'origine d'une échelle de repérage des températures.</ref> », «<math>\;\mathcal{V}_{\text{mol}}\;</math> le volume molaire en <math>\;m^3 \cdot mol^{-1}\;</math> défini par <math>\;\mathcal{V}_{\text{mol}} =</math> <math>\dfrac{d \mathcal{V}}{dn}\;</math> avec <math>\;dn\;</math> la quantité contenue dans l'expansion tridimensionnelle mésoscopique de volume <math>\;d \mathcal{V}\;</math>», «<math>\;R\;</math> la constante molaire des G.P. <ref name="G.P." /> caractérisant ces derniers indépendamment de leur nature et approximativement égale à <math>\;R \simeq 8,314\; J \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}\;</math>».}}

{{Al|5}}<u>Remarque</u> : La forme locale de l’équation d’état du G.P. <ref name="G.P." /> en équilibre thermodynamique peut également s'écrire, en introduisant la « densité volumique molaire du gaz <math>\;n_V = \dfrac{dn}{d \mathcal{V}} = \dfrac{1}{\mathcal{V}_{\text{mol}}}\;</math> en <math>\;mol \cdot m^{-3}\;</math> avec <math>\;d \mathcal{V}\;</math> le volume occupé par la quantité mésoscopique de gaz <math>\;dn\;</math>», sous la forme <center>«<math>\;p = n_V\;R\;T\;</math>» dans laquelle</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}«<math>\;p\;</math> est la pression du gaz en <math>\;Pa\;</math>», «<math>\;T\;</math> la température en <math>\;K\;</math><ref name="K" /> et «<math>\;R\;</math> la constante molaire des G.P. <ref name="G.P." /> caractérisant ces derniers indépendamment de leur nature et approximativement égale à <math>\;R \simeq 8,314\; J \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}\;</math>».

{{Al|5}}Dans la mesure où un G.P. <ref name="G.P." /> est nécessairement monophasé <ref name="G.P. nécessairement monophasé"> Dès lors qu'un gaz n'est pas monophasé <math>\;\big(</math>par exemple parce que la pression ou la température y varient<math>\big)\;</math> il ne peut être considéré comme parfait, néanmoins <math>\;\ldots</math> <br>{{Al|3}}il peut être en équilibre mécanique si un champ de force volumique extérieur maintient le différentiel de pression et par suite, dans tout échantillon mésoscopique de ce gaz, la pression y est constante mais dépendant de l'échantillon mésoscopique choisi et <br>{{Al|3}}{{Transparent|il peut être }}en équilibre thermique si deux [[w:Thermostat|thermostats]] de température différente disposés de part et d'autre du récipient contenant le gaz maintiennent le différentiel de température et par suite, dans tout échantillon mésoscopique de ce gaz, la température y est constante mais dépendant de l'échantillon mésoscopique choisi, <br>{{Al|3}}en conclusion, dans le cas d'un gaz non monophasé mais en équilibre thermodynamique <math>\;\big(</math>par la présence d'un champ de force volumique d'une part assurant l'équilibre mécanique et celles de deux [[w:Thermostat|thermostats]] à température différente situés de part et d'autre du récipient limitant le gaz d'autre part assurant l'équilibre thermique<math>\big)</math>, chaque échantillon mésoscopique du gaz est monophasé et, si les autres conditions sont réalisées, peut être considéré comme parfait.</ref>, il est « homogène », c.-à-d. que « sa densité volumique molaire <math>\;n_V = \dfrac{dn}{d \mathcal{V}}\;</math> est constante » ou, ce qui est équivalent, « son volume molaire <math>\;\mathcal{V}_{\text{mol}} = \dfrac{d \mathcal{V}}{dn}\;</math> est constant » <math>\;\big(dn\;</math> étant la quantité d'entités contenue dans l'échantillon mésoscopique de volume <math>\;d \mathcal{V}\;</math> centrée en <math>\;M\big)</math> ;

{{Al|5}}le caractère constant du volume molaire <math>\;\mathcal{V}_{\text{mol}}\;</math> d'un G.P. <ref name="G.P." /> en équilibre thermodynamique permet de déduire le « volume <math>\;\mathcal{V}\;</math>» occupé par une « quantité finie <math>\;n\;</math> d'entités » de ce G.P. <ref name="G.P." /> en équilibre thermodynamique selon «<math>\;\mathcal{V} = n\;\mathcal{V}_{\text{mol}}\;</math>» ;