« Topologie générale/Exercices/Espaces métriques » : différence entre les versions

Contenu supprimé Contenu ajouté
→‎Exercice 4 : 0 < distance entre un fermé et un compact disjoints
Ligne 59 :
Soient <math>(E,d)</math> un espace métrique et <math>A</math> une partie non vide de <math>E</math>. Pour tout <math>x\in E</math>, on pose
:<math>d(x,A)=\inf_{a\in A}d(x,a)</math>.
#Dans <math>\R</math> muni de la distance usuelle, quelle est la distance de <math>\sqrt2</math> à <math>\Q</math> ?
 
<!--#Montrer que l'applicationpour tout <math>Ex_0\to\Rin E</math>, il existe <math>y\;xin\mapstooverline d(x,A)</math> esttel que <math>1d(x_0,A)=d(x_0,y)</math>-lipschitzienne.-->
Remarque#Montrer : en particulier, pour tout <math>a\in E</math>,que l'application <math>E\to\R,\;x\mapsto d(x,aA)</math> est <math>1</math>-lipschitzienne.
#En déduire que si <math>A</math> est un fermé de <math>E</math> et <math>B</math> un compact de <math>E</math> tels que <math>A</math> et <math>B</math> sont disjoints, alors il existe une constante <math>\delta>0</math> telle que <math>\forall(a,b)\in A\times B\quad d(a,b)\ge\delta</math>.
#Montrer par un contre-exemple que le résultat est faux si l'on suppose seulement que <math>A</math> et <math>B</math> sont deux fermés disjoints.
{{Solution|contenu=
De#Par densité de <math>\forallQ</math> a\indans A<math>\quadR</math>, <math>d(x,a)\le d(x,y)+d(y,aQ)=0</math> onpour déduittout réel <math>d(x,A)\le d(x,y)+d(y,A)</math>, ou encore :.
:<math>!--#Soient a_n\in A tels que d(x,A)-d(y,Aa_n)\leto d(x,yA)</math>.-->
#De <math>\forall a\in A\quad d(x,a)\le d(x,y)+d(y,a)</math> on déduit <math>d(x,A)\le d(x,y)+d(y,A)</math>, ou encore : <math>d(x,A)-d(y,A)\le d(x,y)</math>.<br>De même, <math>d(y,A)-d(x,A)\le d(y,x)=d(x,y)</math>.<br>Finalement, <math>|d(x,A)-d(y,A)|\le d(x,y)</math>.<br>Remarque : en particulier, pour tout <math>a\in E</math>, l'application <math>E\to\R,\;x\mapsto d(x,a)</math> est <math>1</math>-lipschitzienne.
De même,
#L'application <math>x\mapsto d(x,A)</math> étant continue, elle atteint son inf sur <math>B</math>, c'est-à-dire qu'il existe <math>b_0\in B</math> tel que <math>\forall b\in B\quad d(b_0,A)\le d(b,A)</math>.<br>Puisque <math>A</math> est fermé et <math>b_0\notin A</math>, la constante <math>\delta:=d(b_0,A)</math> est non nulle (donc <math>\delta>0</math>).<br><math>\forall(a,b)\in A\times B\quad d(a,b)=d(b,a)\ge d(b,A)\ge\delta</math>.
:<math>d(y,A)-d(x,A)\le d(y,x)=d(x,y)</math>.
#Dans <math>\R^2</math> : <math>A=</math> une hyperbole et <math>B=</math> l'une de ses deux asymptotes. Ou même dans <math>\R</math> : <math>A=\N</math> et <math>B=\{n+1/n\mid n\in\N,\;n\ge2\}</math>.
Finalement, <math>|d(x,A)-d(y,A)|\le d(x,y)</math>.
}}
Remarque : en particulier, pour tout <math>a\in E</math>, l'application <math>E\to\R,\;x\mapsto d(x,a)</math> est <math>1</math>-lipschitzienne.
 
{{Bas de page