« Topologie générale/Exercices/Espaces métriques » : différence entre les versions

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→‎Exercice 4 : 0 < distance entre un fermé et un compact disjoints
→‎Exercice 4 : ajouté 2 questions
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:<math>d(x,A)=\inf_{a\in A}d(x,a)</math>.
#Dans <math>\R</math> muni de la distance usuelle, quelle est la distance de <math>\sqrt2</math> à <math>\Q</math> ?
<!--#MontrerDans [[Espaces vectoriels normés/Dimension finie|<math>\R^n</math> muni d'une distance associée à une norme]], montrer que pour tout <math>x_0x\in E\R^n</math>, il existe <math>y\in\overline A</math> tel que <math>d(x_0x,A)=d(x_0x,y)</math>.-->
#On revient à un espace métrique quelconque. Montrer qu'on a encore : <math>d(x,A)=0</math> si et seulement si <math>x\in\overline A</math>.
#Montrer que l'application <math>E\to\R,\;x\mapsto d(x,A)</math> est <math>1</math>-lipschitzienne.
#En déduire que si <math>A</math> est un fermé de <math>E</math> et <math>B</math> un compact de <math>E</math> tels que <math>A</math> et <math>B</math> sont disjoints, alors il existe une constante <math>\delta>0</math> telle que <math>\forall(a,b)\in A\times B\quad d(a,b)\ge\delta</math>.
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{{Solution|contenu=
#Par densité de <math>\Q</math> dans <math>\R</math>, <math>d(x,\Q)=0</math> pour tout réel <math>x</math>.
#Soient <math>a_n\in A</math> tels que <math>d(x,a_n)\to d(x,A)</math>. La suite <math>(a_n)</math> est alors bornée donc ([[Approfondissement sur les suites numériques/Suites extraites|théorème de Bolzano-Weierstrass]]) on peut en extraire une sous-suite convergente. La limite <math>y</math> répond alors au problème.
<!--#Soient a_n\in A tels que d(x,a_n)\to d(x,A).-->
#<math>d(x,A)=0\Leftrightarrow</math> il existe une suite <math>(a_n)</math> d'éléments de <math>A</math> telle que <math>d(x,a_n)\to0\Leftrightarrow x</math> est limite d'une suite d'éléments de <math>A\Leftrightarrow x\in\overline A</math>.
#De <math>\forall a\in A\quad d(x,a)\le d(x,y)+d(y,a)</math> on déduit <math>d(x,A)\le d(x,y)+d(y,A)</math>, ou encore : <math>d(x,A)-d(y,A)\le d(x,y)</math>.<br>De même, <math>d(y,A)-d(x,A)\le d(y,x)=d(x,y)</math>.<br>Finalement, <math>|d(x,A)-d(y,A)|\le d(x,y)</math>.<br>Remarque : en particulier, pour tout <math>a\in E</math>, l'application <math>E\to\R,\;x\mapsto d(x,a)</math> est <math>1</math>-lipschitzienne.
#L'application <math>x\mapsto d(x,A)</math> étant continue, elle atteint son inf sur <math>B</math>, c'est-à-dire qu'il existe <math>b_0\in B</math> tel que <math>\forall b\in B\quad d(b_0,A)\le d(b,A)</math>.<br>Puisque <math>A</math> est fermé et <math>b_0\notin A</math>, la constante <math>\delta:=d(b_0,A)</math> est non nulle d'après la question 3 (donc <math>\delta>0</math>).<br><math>\forall(a,b)\in A\times B\quad d(a,b)=d(b,a)\ge d(b,A)\ge\delta</math>.
#Dans <math>\R^2</math> : <math>A=</math> une hyperbole et <math>B=</math> l'une de ses deux asymptotes. Ou même dans <math>\R</math> : <math>A=\N</math> et <math>B=\{n+1/n\mid n\in\N,\;n\ge2\}</math>.
}}