« Topologie générale/Adhérence, intérieur » : différence entre les versions
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Soient <math>E</math> un espace topologique et <math>A,B</math> deux parties de <math>E</math>.
== Adhérence ==
{{ Définition
| titre = Définitions : adhérence, point adhérent, partie dense
| contenu ={{Wikipédia|Adhérence (mathématiques)|Adhérence}}{{Wikipédia|Densité (mathématiques)|Partie dense}}
*Un '''point''' <math>x</math> de <math>E</math> est dit '''adhérent''' à <math>A</math> si tout voisinage de <math>x</math> rencontre <math>A</math>.
*
*on dit que <math>A</math> est '''dense''' dans <math>E</math> si <math>\overline A=E</math>, ou encore, si <math>A</math> rencontre tout ouvert non vide de <math>E</math>.
}}
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{{Proposition|contenu=
}}
*<math>A\subset\overline A</math>, avec égalité si et seulement si <math>A</math> est fermé ;▼
{{Démonstration déroulante|contenu=
*<math>\overline\overline A=\overline A</math> ;▼
<math>x\in\overline A\Leftrightarrow</math> pour tout ouvert ''O'' contenant <math>x</math>, ''O'' rencontre <math>A\Leftrightarrow</math> pour tout fermé <math>F</math> ne contenant pas <math>x</math>, <math>A</math> n'est pas tout entier inclus dans <math>F\Leftrightarrow</math> pour tout fermé <math>F</math> contenant <math>A</math>, <math>x\in F</math>.
Ainsi, <math>\overline A</math> est l'intersection des fermés contenant <math>A</math>. Puisque l'intersection d'une famille quelconque (finie ou infinie) de fermés est un fermé, cette intersection est le plus petit fermé contenant <math>A</math>.
}}
{{Corollaire|contenu=
*<math>\overline{A \cup B}=\overline A\cup\overline B</math> (donc <math>A\subset B\Rightarrow\overline A\subset\overline B</math>, donc <math>\overline{A \cap B}\subset\overline A\cap\overline B</math>).
}}
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| titre = Définitions : point isolé, point d'accumulation
| contenu =
*Un point <math>x</math> de <math>E</math> est un '''point d'accumulation de <math>A</math>''' si tout voisinage de <math>x</math> contient un point de <math>A</math> distinct de <math>x</math>.
* Un point de <math>A</math> est '''isolé''' s'il n'est pas un point d'accumulation de <math>A</math>.}}
== Intérieur ==
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| titre = Définition : intérieur
| contenu ={{Wikipédia|Intérieur (topologie)|Intérieur}}
Dans un espace topologique, un point <math>x</math> est intérieur à
}}
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{{Proposition|contenu=
* <math>\stackrel{\ \circ}{A} \subset A</math>, avec égalité si et seulement si <math>A</math> est ouvert, donc<div style="text-align: center;">
*<math>\stackrel{\ \circ}{\stackrel{\ \circ}{A}}=\stackrel{\ \circ}{A}</math> ;
* l'intérieur de <math>A \cap B</math> est <math>\stackrel{\ \circ}A\cap\stackrel{\ \circ}{B}</math> (donc <math>A \subset B\Rightarrow\stackrel{\ \circ}{A} \subset \stackrel{\ \circ}{B}</math>, donc <math>\stackrel{\ \circ}A\cup\stackrel{\ \circ}{B}</math> est inclus dans l'intérieur de <math>A\cup B</math>) ;
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