« Topologie générale/Adhérence, intérieur » : différence entre les versions
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mep+preuve de "plus petit fermé contenant..." |
→Intérieur : idem "plus grand ouvert inclus..." |
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{{Proposition|contenu=
L'intérieur de <math>A</math> est le plus grand ouvert inclus dans <math>A</math>
}}
* <math>\stackrel{\ \circ}{A} \subset A</math>, avec égalité si et seulement si <math>A</math> est ouvert, donc<div style="text-align: center;"><math>A</math> est un ouvert si et seulement si <math>A</math> est voisinage de chacun de ses points ;</div>▼
{{Démonstration déroulante|contenu=
*<math>\stackrel{\ \circ}{\stackrel{\ \circ}{A}}=\stackrel{\ \circ}{A}</math> ;▼
Puisque la réunion d'une famille quelconque (finie ou infinie) d'ouverts est un ouvert, cette réunion est le plus grand ouvert inclus dans <math>A</math>.
}}
{{Corollaire|contenu=
▲* <math>\stackrel{\ \circ}{A} \subset A</math>, avec égalité si et seulement si <math>A</math> est ouvert, donc<div style="text-align: center;"><math>A</math> est un ouvert si et seulement si <math>A</math> est voisinage de chacun de ses points
* l'intérieur de <math>A \cap B</math> est <math>\stackrel{\ \circ}A\cap\stackrel{\ \circ}{B}</math> (donc <math>A \subset B\Rightarrow\stackrel{\ \circ}{A} \subset \stackrel{\ \circ}{B}</math>, donc <math>\stackrel{\ \circ}A\cup\stackrel{\ \circ}{B}</math> est inclus dans l'intérieur de <math>A\cup B</math>).
*le complémentaire de <math>\bar{A}</math> est l'intérieur du complémentaire de <math>A</math>.
}}
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