« Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité » : différence entre les versions

#On utilise le même théorème de la moyenne de Cauchy, avec plus de précaution.<br />Dans tout intervalle non vide <math>\left]x,y\right[</math> inclus dans <math>\left]a,b\right[</math>, il existe un réel <math>c</math> tel que <math>\frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}</math>, autrement dit <math>f(x)=(g(x)-g(y))\frac{f'(c)}{g'(c)}+f(y)</math>.<br />Lorsque <math>g(x)</math> est non nul, l'expression précédente peut s'écrire :<div style="text-align: center;"><math>\frac{f(x)}{g(x)}=\left(1-\frac{g(y)}{g(x)}\right)\frac{f'(c)}{g'(c)}+\frac{f(y)}{g(x)}</math>.</div>Comme <math>\lim_{t\to a^+}\frac{f'(t)}{g'(t)}=\ell</math>, on peut choisir <math>y</math> dans <math>\left]a,b\right[</math> tel que, si <math>c</math> appartient à <math>\left]a,y\right[</math>, <math>\frac{f'(c)}{g'(c)}</math> soit aussi proche que l'on veut de <math>\ell</math>.<br />Puis, pour un tel <math>y</math>, comme <math>|g(x)|</math> tend vers l'infini, on peut trouver un intervalle non vide <math>\left]a,r\right[</math>, inclus dans <math>\left]a,y\right[</math>, tel que pour tout <math>x</math> de <math>\left]a,r\right[</math>, <math>g(x)</math> soit non nul et <math>\frac{g(y)}{g(x)}</math> et <math>\frac{f(y)}{g(x)}</math> soient aussi procheproches de <math>0</math> que l'on veut.