« Espaces vectoriels normés/Exercices/Applications linéaires continues » : différence entre les versions

m
→‎Exercice 2-3 : coquille
(→‎Exercice 2-1 : +1 question (et sa rép + LI))
m (→‎Exercice 2-3 : coquille)
Le singleton <math>\{0\}</math> est fermé dans <math>K</math> donc si <math>u</math> est continue alors <math>\ker u=u^{-1}\left(\{0\}\right)</math> est fermé dans <math>E</math>.
 
Réciproquement, supposons que <math>u</math> n'est pas continue et démontrons que <math>\ker u</math> n'est pas fermé. Par hypothèse, il existe une suite <math>(x_n)</math> de la boule unité de <math>E</math> telle que <math>\|u(x_n)\|\to+\infty</math>. À partir d'un certain rang <math>N</math>, <math>u(x_n)\ne0</math>, ce qui permet de définir
:<math>y_n:=x_N-\frac{u(x_N)}{u(x_n)}x_n</math>.
Par construction, la suite <math>(y_n)_{n\ge N}</math> est à valeurs dans <math>\ker u</math> et converge vers <math>x_N\notin\ker u</math>, ce qui conclut.
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