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On a vu au [[../Concepts généraux#Équation de la chaleur, cas simple|chapitre 1]] une mise en équation locale du phénomène de transfert de chaleur dans un corps. Cette approche ne traitait qu'une partie des questions liées à cette mise en équation. Ce chapitre aborde d'autres cas fréquemment rencontrés.
== Cas général ==
Le système considéré, de volume <math>V</math> et de surface externe <math>\Sigma</math>, est indéformable. Nous sommes dans un cas de conduction pure, aucun transfert d'énergie ne se produisant par déplacement de matière :
* pas de convection ;
* <math> C_v = C(T) \ </math> chaleur massique en J/kg/K ;
* masse volumique : <math>\rho(T) </math>.
Le taux de variation d'énergie interne U du système s'écrit ainsi : <math> \int_{V} \rho C \frac{\partial T}{\partial t} \mathrm dV\ </math><br />
L'énergie reçue par le système à ses frontières est : <math> \int_{\Sigma} - \vec \varphi . \vec n\, \mathrm d\Sigma \ = \int_{\Sigma} \varphi \mathrm d\Sigma</math>
:: (on convient du signe positif quand le système reçoit effectivement cette énergie)<br />
Le système peut éventuellement avoir des sources internes d'énergie (effet Joule, réaction chimique, etc.) qui s'écrivent : <math> \int_{V} q\, \mathrm dV\ </math>
Selon le premier principe de la thermodynamique :
::<math> \int_{V} \rho C \frac{\partial T}{\partial t} \mathrm dV = \int_{\Sigma} - \vec \varphi . \vec n \, \mathrm d\Sigma + \int_{V} q \, \mathrm dV \ </math>
Le théorème de la divergence permet de ramener cette équation de bilan à une équation locale en chaque point :<br />
{{propriété
| titre = Équation indéfinie de la chaleur
| contenu = <math>\frac{\partial \rho C T}{\partial t} + div \vec \varphi = q </math>
}}
On rappelle que le milieu est indéformable : <math> \vec \varphi = \vec \varphi^{cd} + \vec \varphi^R </math><br />
Si de plus le milieu est opaque, on a : <math> \vec \varphi^R = 0 </math><br />
Enfin, en milieu isotrope : <math> \vec \varphi =\vec{\varphi^{cd}} = - \lambda (T) \vec{\nabla}T </math>
Dans le cas général, la conductivité du solide λ est dépendante de la température. Les grandeurs ρ et C sont également dépendantes de T, mais ne sont pas dérivées spatialement. On écrit donc :
: <math> - div \vec \varphi = div \left[ \lambda(T) . \vec{\nabla} \; T \right]</math>
: <math> - div \vec \varphi = \lambda(T) . div \vec{\nabla}T + \vec{\nabla}T . \vec{\nabla}\lambda</math>
: <math> - div \vec \varphi = \lambda(T) \Delta T + \frac{\partial \lambda}{\partial T} \left(\vec{\nabla}T \right)^2 </math>
L'équation de la chaleur devient :
: <math> \rho \, C \frac{\partial T}{\partial t} = \lambda(T) \Delta T + \frac{\partial \lambda}{\partial T} \left(\vec{\nabla}T \right)^2 + q </math>
{{propriété
| titre = Équation de la chaleur avec thermodépendance :
| contenu = <math> \Delta T - \frac{\rho \, C}{\lambda(T)} \frac{\partial T}{\partial t} + \frac{1}{\lambda(T)} \frac{\partial \lambda}{\partial T} \left( \vec{\nabla}T \right)^2 = - \frac{q}{\lambda(T)} </math>
}}
Sans la thermodépendance on a :
: <math> \Delta T - \frac{\rho \, C}{\lambda} \frac{\partial T}{\partial t} = - \frac{q}{\lambda} </math>
On pose : <math> a = \frac{\lambda}{\rho \, C}</math> (a diffusivité en <math> m^2.s^{-1})</math>
{{propriété
| titre = Équation linéaire de la chaleur sans thermodépendance :
| contenu = <math> \Delta T - \frac{1}{a} \frac{\partial T}{\partial t} = - \frac{q}{\lambda} </math>
}}
{{Boîte déroulante
| titre = Autre démonstration de l'équation en partant d'un bilan énergétique
| contenu =
Écrivons le bilan thermique d'un élément de volume élémentaire d''x'' d''y'' d''z'' en coordonnées cartésiennes, pour un intervalle de temps élémentaire d''t''.
* Quantité d'énergie qui entre en <math> x_0 </math> :
<math> Q (x_0) = \Phi_0 \, \mathrm dt\ </math>
* Sources internes (volumiques) <math> q </math> (en W.m{{exp|-3}}) :
<math> Q_{\rm prod} = q V \, \mathrm dt = q ( \mathrm dx\, \mathrm dy\, \mathrm dz ) \, \mathrm dt </math>
* Chaleur stockée dans l'élément de volume à pression constante (sous forme d'élévation de température) :
<math> Q_{\rm stock} = \rho C_p \, \mathrm dx\, \mathrm dy\, \mathrm dz \, \mathrm dT </math>
* Chaleur sortante :
<math> Q(x_0 + \mathrm dx) = \Phi \, \mathrm dt\ </math>
Le premier principe de la thermodynamique impose la conservation du flux (aucune force extérieure n'est prise en compte) :
<math> Q_{\rm entrant} + Q_{\rm prod} = Q_{\rm stock} + Q_{\rm sorti}\ </math>
<math> (\Phi (x_0) + \Phi (y_0)+ \Phi (y_0)) \, \mathrm dt\ + q ( \mathrm dx\, \mathrm dy\, \mathrm dz ) \, \mathrm dt = \rho C_p ( \mathrm dx\, \mathrm dy\, \mathrm dz ) \mathrm dT + (\Phi (x_0 + \mathrm dx) + \Phi (y_0 + \mathrm dy)+ \Phi (y_0 + \mathrm dz)) \mathrm dt </math>
Selon la loi de Fourier, en considérant la conductivité isotrope :
<math> \Phi_{x_0} = - \lambda \vec{\nabla}T\, \cdot \, \overrightarrow{\mathrm {d \Sigma}}</math>
<math> \Phi_{x_0} = - \lambda \frac{\partial T}{\partial x}\Bigg |_{x=x_0} ( \mathrm dy\, \mathrm dz ) </math>
De même pour un flux en <math> x_0 \ + \mathrm dx </math> :
<math> \Phi_{x_0+\mathrm dx} = \Phi_{x_0} + \frac{\partial \Phi_x}{\partial x} \, \mathrm dx </math>
Avec :
<math>\frac{\partial \Phi_x}{\partial x} = \frac{\Phi (x_0+\mathrm dx) - \Phi (x_0) }{\mathrm dx} </math>
D'où :
<math> \Phi_{x_0+ \mathrm dx} = - \lambda \frac{\partial T}{\partial x}_{|x=x_0} \, \mathrm dy \, \mathrm dz + \frac {\partial }{\partial x} (- \lambda \frac{\partial T}{\partial x} ) \, \mathrm dx \, \mathrm dy \, \mathrm dz </math>
Donc :
<math> \Phi_{x_0} - \Phi_{x_0+\mathrm dx}= \frac {\partial }{\partial x} ( \lambda \frac{\partial T}{\partial x} ) \mathrm dx ( \mathrm dy \, \mathrm dz) </math>
et
<math> \Phi_{y_0} - \Phi_{y_0+\mathrm dy}= \frac {\partial }{\partial y} ( \lambda \frac{\partial T}{\partial y} ) \mathrm dy (\mathrm dx \, \mathrm dz) </math>
<math> \Phi_{z_0} - \Phi_{z_0+\mathrm dz}= \frac {\partial }{\partial z} ( \lambda \frac{\partial T}{\partial z} ) \mathrm dz (\mathrm dx \, \mathrm dy) </math>
On obtient :
<math> \left[\frac{\partial }{\partial x} (\lambda \frac{\partial T}{\partial x} ) + \frac{\partial }{\partial y} (\lambda \frac{\partial T}{\partial y} ) + \frac{\partial }{\partial z} (\lambda \frac{\partial T}{\partial z} ) \right] \mathrm dx \, \mathrm dy \, \mathrm dz + q \, \mathrm dx \, \mathrm dy \, \mathrm dz = \rho C_p \, \mathrm dx\, \mathrm dy\, \mathrm dz \frac {\mathrm dT}{\mathrm dt} </math>
=== Corps homogène ===
On considère que λ est indépendant de tout paramètre physique, et est donc uniforme suivant x, y et z.
L'équation devient :
<math> \left( \frac{\lambda}{\rho C_p} \right) \left[ \frac{\partial ^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 T}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 T}{\partial z^2} \right] + \left( \frac{q}{\rho C_p} \right) = \frac{\partial T}{\partial t} </math>
En posant ''a'' la diffusivité thermique : <math> a = \frac{k}{\rho C_p}</math>, on obtient bien
<math> \Delta T + \frac{q}{k} = \frac{1}{a} \frac{\partial T}{\partial t}</math>
{{propriété
| titre = Équation de la chaleur
| contenu = <math> \Delta T - \frac{1}{a} \frac{\partial T}{\partial t} = - \frac{q}{k} </math>
avec ''a'' diffusivité thermique
}}
}}
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