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--------- equation de la chaleur ----------
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== Cas général ==
----Écrivons le bilan thermique d'un élément de volume élémentaire <math>\mathrm d V =\mathrm d'' x''\, \mathrm d'' y''\, \mathrm d'' z'' </math> en coordonnées cartésiennes, pour un intervalle de temps élémentaire <math>\mathrm d'' t''</math>.▼
* Quantité d'énergie qui entre en dans le volume <math>\mathrm x_0d V </math> : ▼
:<math> Q(x_0 + \mathrmdelta dx)Q = \Phi \, \mathrm dt\ </math>▼
* Sources internes (volumiques) <math> q </math> (en W. m{{exp|-3}} ) : :▼
:<math> \delta Q_{\rm prod} = q V q_{\,rm \mathrm dt = q ( \mathrmprod} dx\, \mathrm dy\, \mathrm dz )dV \, \mathrm dt </math>▼
<math>= Q_q_{\rm stockprod} = \rho C_p \, \mathrm dx\, \mathrm dy\, \mathrm dz \, \mathrm dTdt </math>▼
* Chaleur stockée dans l'élément de volume à pression constante (sous forme d'élévation de température) :▼
:<math> \delta Q_{\rm stock} = \rho \, c_p \, \mathrm dx\, \mathrm dy\, \mathrm dz \, \mathrm dT </math>
* Chaleur sortante :▼
:<math> Q (x_0 + \mathrm dx) = \Phi_0Phi \, \mathrm dt\ </math> ▼
 
 
Le premier principe de la thermodynamique impose la conservation du flux (aucune force extérieure n'est prise en compte) :▼
<math> Q_{\rm entrant} + Q_{\rm prod} = Q_{\rm stock} + Q_{\rm sorti}\ </math>▼
 
<math> (\Phi (x_0) + \Phi (y_0)+ \Phi (y_0)) \, \mathrm dt\ + q ( \mathrm dx\, \mathrm dy\, \mathrm dz ) \, \mathrm dt = \rho C_p ( \mathrm dx\, \mathrm dy\, \mathrm dz ) \mathrm dT + (\Phi (x_0 + \mathrm dx) + \Phi (y_0 + \mathrm dy)+ \Phi (y_0 + \mathrm dz)) \mathrm dt </math>▼
 
 
Selon la loi de Fourier, en considérant la conductivité isotrope : ▼
<math> \Phi_{x_0} = - \lambda \vec{\nabla}T\, \cdot \, \overrightarrow{\mathrm {d \Sigma}}</math>▼
 
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Le système considéré, de volume <math>V</math> et de surface externe <math>\Sigma</math>, est indéformable. Nous sommes dans un cas de conduction pure, aucun transfert d'énergie ne se produisant par déplacement de matière :
* pas de convection ;
* <math> C_v = C(T) \ </math> chaleur massique en J/kg/K ;
* masse volumique : <math>\rho(T) </math> .
 
Le taux de variation d'énergie interne U du système s'écrit ainsi : <math> \int_{V} \rho C \frac{\partial T}{\partial t} \mathrm dV\ </math><br />
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| contenu = <math> \Delta T - \frac{1}{a} \frac{\partial T}{\partial t} = - \frac{q}{\lambda} </math>
}}
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{{Boîte déroulante▼
| titre = Autre démonstration de l'équation en partant d'un bilan énergétique▼
| contenu =▼
▲Écrivons le bilan thermique d'un élément de volume élémentaire d''x'' d''y'' d''z'' en coordonnées cartésiennes, pour un intervalle de temps élémentaire d''t''.
▲* Quantité d'énergie qui entre en <math> x_0 </math> :
▲<math> Q (x_0) = \Phi_0 \, \mathrm dt\ </math>
▲* Sources internes (volumiques) <math> q </math> (en W.m{{exp|-3}}) :
▲<math> Q_{\rm prod} = q V \, \mathrm dt = q ( \mathrm dx\, \mathrm dy\, \mathrm dz ) \, \mathrm dt </math>
▲* Chaleur stockée dans l'élément de volume à pression constante (sous forme d'élévation de température) :
▲<math> Q_{\rm stock} = \rho C_p \, \mathrm dx\, \mathrm dy\, \mathrm dz \, \mathrm dT </math>
▲* Chaleur sortante :
▲<math> Q(x_0 + \mathrm dx) = \Phi \, \mathrm dt\ </math>
 
 
▲Le premier principe de la thermodynamique impose la conservation du flux (aucune force extérieure n'est prise en compte) :
▲<math> Q_{\rm entrant} + Q_{\rm prod} = Q_{\rm stock} + Q_{\rm sorti}\ </math>
 
▲<math> (\Phi (x_0) + \Phi (y_0)+ \Phi (y_0)) \, \mathrm dt\ + q ( \mathrm dx\, \mathrm dy\, \mathrm dz ) \, \mathrm dt = \rho C_p ( \mathrm dx\, \mathrm dy\, \mathrm dz ) \mathrm dT + (\Phi (x_0 + \mathrm dx) + \Phi (y_0 + \mathrm dy)+ \Phi (y_0 + \mathrm dz)) \mathrm dt </math>
 
 
▲Selon la loi de Fourier, en considérant la conductivité isotrope :
▲<math> \Phi_{x_0} = - \lambda \vec{\nabla}T\, \cdot \, \overrightarrow{\mathrm {d \Sigma}}</math>
 
<math> \Phi_{x_0} = - \lambda \frac{\partial T}{\partial x}\Bigg |_{x=x_0} ( \mathrm dy\, \mathrm dz ) </math>
 
De même pour un flux en <math> x_0 \ + \mathrm dx </math> :
 
<math> \Phi_{x_0+\mathrm dx} = \Phi_{x_0} + \frac{\partial \Phi_x}{\partial x} \, \mathrm dx </math>
 
Avec :
 
<math>\frac{\partial \Phi_x}{\partial x} = \frac{\Phi (x_0+\mathrm dx) - \Phi (x_0) }{\mathrm dx} </math>
 
D'où :
<math> \Phi_{x_0+ \mathrm dx} = - \lambda \frac{\partial T}{\partial x}_{|x=x_0} \, \mathrm dy \, \mathrm dz + \frac {\partial }{\partial x} (- \lambda \frac{\partial T}{\partial x} ) \, \mathrm dx \, \mathrm dy \, \mathrm dz </math>
 
Donc :
<math> \Phi_{x_0} - \Phi_{x_0+\mathrm dx}= \frac {\partial }{\partial x} ( \lambda \frac{\partial T}{\partial x} ) \mathrm dx ( \mathrm dy \, \mathrm dz) </math>
 
et
<math> \Phi_{y_0} - \Phi_{y_0+\mathrm dy}= \frac {\partial }{\partial y} ( \lambda \frac{\partial T}{\partial y} ) \mathrm dy (\mathrm dx \, \mathrm dz) </math>
<math> \Phi_{z_0} - \Phi_{z_0+\mathrm dz}= \frac {\partial }{\partial z} ( \lambda \frac{\partial T}{\partial z} ) \mathrm dz (\mathrm dx \, \mathrm dy) </math>
 
On obtient :
<math> \left[\frac{\partial }{\partial x} (\lambda \frac{\partial T}{\partial x} ) + \frac{\partial }{\partial y} (\lambda \frac{\partial T}{\partial y} ) + \frac{\partial }{\partial z} (\lambda \frac{\partial T}{\partial z} ) \right] \mathrm dx \, \mathrm dy \, \mathrm dz + q \, \mathrm dx \, \mathrm dy \, \mathrm dz = \rho C_p \, \mathrm dx\, \mathrm dy\, \mathrm dz \frac {\mathrm dT}{\mathrm dt} </math>
 
 
 
=== Corps homogène ===
 
On considère que λ est indépendant de tout paramètre physique, et est donc uniforme suivant x, y et z.
 
L'équation devient :
 
<math> \left( \frac{\lambda}{\rho C_p} \right) \left[ \frac{\partial ^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 T}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 T}{\partial z^2} \right] + \left( \frac{q}{\rho C_p} \right) = \frac{\partial T}{\partial t} </math>
 
En posant ''a'' la diffusivité thermique : <math> a = \frac{k}{\rho C_p}</math>, on obtient bien
 
<math> \Delta T + \frac{q}{k} = \frac{1}{a} \frac{\partial T}{\partial t}</math>
 
 
{{propriété
Ligne 120 ⟶ 89 :
avec ''a'' diffusivité thermique
}}
 
▲{{Boîte déroulante
▲ | titre = Autre démonstration de l'équation en partant d'un bilan énergétique
▲ | contenu =
 
 
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