« Théorie des groupes/Exercices/Théorèmes de Sylow » : différence entre les versions
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→Problème 6 (Forme forte du théorème de congruence de Sylow) : titre plus explicite |
m →Problème 6 (Congruence de Sylow à module renforcé) : coquille |
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Cela résulte d'un des problèmes qui précèdent. Pour rendre le présent problème autonome, on va redonner une démonstration. Le sous-groupe <x> de G engendré par ''x'' normalise P, donc le sous-groupe de G engendré par P et par ''x'' est l’ensemble <x> P. Le cardinal de cet ensemble divise <math>\vert <x> \vert \cdot \vert P \vert </math> (voir la ''formule du produit'' démontrée dans le chapitre [[../../Classes modulo un sous-groupe|Classes modulo un sous-groupe]]) et est donc une puissance de ''p''. Par maximalité des p-sous-groupes de Sylow de G comme sous-groupes de G dont l’ordre est une puissance de ''p'', <x> P est donc égal à P, donc ''x'' appartient à P.<br />
On aurait pu dire aussi que <x> est un p-sous-groupe de N<sub>G</sub>(P) et est donc contenu dans un p-sous-groupe de Sylow de N<sub>G</sub>(P). Or P est évidemment un p-sous-groupe de Sylow de N<sub>G</sub>(P) et c’est le seul, puisqu’il est sous-groupe distingué de N<sub>G</sub>(P). Donc ''x'' appartient à P.
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