« Théorie des groupes/Exercices/Théorèmes de Sylow » : différence entre les versions
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Ligne 249 :
Voici une autre démonstration. D'après les théorèmes de Sylow, nous pouvons choisir un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow <math>P_{0}</math> de G contenant R. Soit maintenant P un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow quelconque de G. D'après les théorèmes de Sylow, <math>P_{0}</math> et <math>P</math> sont conjugués dans G, donc il existe un élément <math>g</math> de G tel que <math>P = gP_{0}g^{-1}.</math> De <math>R \subset P_{0}</math> résulte <math>gR g^{-1} \subset g P_{0}g^{-1} .</math> Dans cette dernière relation, le membre gauche est égal à R (puisque, par hypothèse, R est normal dans G) et le membre droit est égal à P (par choix de <math>g</math>), donc R est contenu dans P, ce qui démontre l'énoncé.
}}
== Problème 11 ==
Soit G un groupe fini, soit <math>p</math> un nombre premier, soit Q un <math>p</math>-sous-groupe de G. On suppose que Q est normal dans chaque <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G qui contient Q.
a) Notons H le sous-groupe de G engendré par les <math>p</math>-sous-groupes de Sylow de G contenant Q. Prouver que les <math>p</math>-sous-groupes de Sylow de G contenant Q sont exactement les <math>p</math>-sous-groupes de Sylow de H.<br />
Indication : on peut utiliser le problème 10.
{{Solution
| contenu =
Soient <math>P_{1}, \ldots , P_{r}</math> les différents <math>p</math>-sous-groupes de Sylow de G contenant Q. D'après le chapitre théorique, Q est contenu dans au moins un <math>p</math>-sous-groupes de Sylow de G, donc <math>r \geq 1</math>, donc nous pouvons parler de <math>P_{1} .</math><br />
Par définition, H est le sous-groupe <math>\langle P_{1}, \ldots , P_{r} \rangle</math> de G engendré par <math>P_{1} \cup \ldots \cup P_{r} .</math><br />
Puisque Q est contenu dans <math>P_{1}</math>,
:(1)<math>\qquad </math>Q est contenu dans H.
Chaque <math>P_{i}</math> est contenu dans H. Puisque <math>P_{i}</math> est un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G, il en résulte que <math>P_{i}</math> est un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de H. Cela montre que tout <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G contenant Q est un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de H. Il reste à prouver la réciproque, à savoir que
:(thèse 2)<math>\qquad </math>tout <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de H est un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G contenant Q.
Puisque H contient <math>P_{1}</math>, <math>\vert H \vert</math> est divisible par <math>\vert P_{1} \vert</math>. Puisque <math>P_{1}</math> est un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G, cela revient à dire que <math>\vert H \vert</math> est divisible par la plus grande puissance de <math>p</math> qui divise <math>\vert G \vert</math>, donc
:tout <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de H est un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G.
Pour prouver la thèse (2), il reste donc à prouver que
:(thèse 3)<math>\qquad </math> tout <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de H contient Q.
D'après les hypothèses générales du problème, chaque <math>P_{i}</math> normalise Q, donc <math>\langle P_{1}, \ldots , P_{r} \rangle</math> normalise Q (rappel : normaliser revient à être contenu dans le normalisateur), ce qui, d'après (1), revient à dire que
:(4)<math>\qquad</math>Q est normal dans H.
Dès lors, puisque Q est un <math>p</math>-groupe, il résulte du problème 10, point b), que Q est contenu dans tout <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de H, ce qui prouve la thèse (3). Comme nous l'avons vu, la thèse (2) en résulte, d'où l'énoncé du point a).
}}
b) Toujours dans l'hypothèse où Q est normal dans chaque <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G contenant Q, prouver que le nombre des <math>p</math>-sous-groupes de Sylow de G contenant Q est congru à 1 modulo <math>p</math> et divise le plus grand facteur de <math>\vert G \vert</math> non divisible par <math>p .</math>
{{Solution
| contenu =
D'après le point a), il existe un sous-groupe H de G tel que les <math>p</math>-sous-groupes de Sylow de G contenant Q sont exactement les <math>p</math>-sous-groupes de Sylow de H. Alors
:(1)<math>\qquad </math>le nombre des <math>p</math>-sous-groupes de Sylow de G contenant Q est égal au nombre <math>n_{p}(H)</math> des <math>p</math>-sous-groupes de Sylow de H.
D'après les thérèmes de Sylow,
:(2)<math>\qquad n_{p}(H)</math> est congru à 1 modulo <math>p</math>
et
:(3)<math>\qquad n_{p}(H)</math> divise le plus grand facteur non divisible par <math>p</math> de <math>\vert H \vert .</math>
Puisque H est un sous-groupe de G, <math>\vert H \vert </math> divise <math>\vert G \vert </math>, donc le plus grand facteur non divisible par <math>p</math> de <math>\vert H \vert </math> divise le plus grand facteur non divisible par <math>p</math> de <math>\vert G \vert </math>, donc d'après (3)
:<math>\qquad n_{p}(H)</math>divise le plus grand facteur non divisible par <math>p</math> de <math>\vert G \vert .</math>
Joint aux résultats (1) et (2), cela démontre l'énoncé du point b).
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c) Toujours dans l'hypothèse où Q est normal dans chaque <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G contenant Q, prouver que les <math>p</math>-sous-groupes de Sylow de G contenant Q sont exactement les <math>p</math>-sous-groupes de Sylow de <math>N_{G}(Q) .</math><br />
(Comme au point b), on peut en déduire que le nombre des <math>p</math>-sous-groupes de Sylow de G contenant Q est congru à 1 modulo <math>p</math> et divise le plus grand facteur non divisible par <math>p</math> de <math>\vert G \vert .</math>)
{{Solution
| contenu =
La démonstration est presque identique à celle du point b). Par hypothèse, tout <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G contenant Q normalise Q, autrement dit tout <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G contenant Q est contenu dans <math>N_{G}(Q) .</math> Un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G contenu dans <math>N_{G}(Q)</math> est évidemment un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de <math>N_{G}(Q)</math>, donc
:(1)<math>\qquad </math>tout <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G contenant Q est un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de <math>N_{G}(Q) .</math>
Il reste à prouver que
:(thèse 2)<math>\qquad</math>tout <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de <math>N_{G}(Q)</math> est un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G contenant Q.
D'après les théorèmes de Sylow, Q est contenu dans au moins un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G, donc il résulte de (1) que la plus grande puissance de <math>p</math> divisant <math>\vert N_{G}(Q) \vert</math> est égale à la plus grande puissance de <math>p</math> divisant <math>\vert G \vert</math>, donc chaque <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de <math>N_{G}(Q)</math> est un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G. Pour prouver la thèse (2), il reste à prouver que tout <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de <math>N_{G}(Q)</math> contient Q. Or Q est un <math>p</math>-sous-groupe normal de <math>N_{G}(Q)</math>, donc, d'après le problème 10, point b), il est contenu dans tout <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de <math>N_{G}(Q) .</math>
}}
Remarque. Si G est un groupe fini, <math>p</math> un nombre premier et Q un <math>p</math>-sous-groupe de G, si on ne suppose pas que G est normal dans chaque <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G contenant Q, il n'est pas forcément vrai que le nombre des <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G contenant Q divise l'ordre de G. On en verra un contre-exemple dans [[../Intermède : groupes simples d'ordre 168/|les exercices sur les groupes simples d'ordre 168]].
== Références ==
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