« Théorie des groupes/Exercices/Théorèmes de Sylow » : différence entre les versions
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→Problème 11 : coquille |
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{{Solution
| contenu =
La démonstration est presque identique à celle du point
:(1)<math>\qquad </math>tout <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G contenant Q est un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de <math>N_{G}(Q) .</math>
Il reste à prouver que
Ligne 294 :
D'après les théorèmes de Sylow, Q est contenu dans au moins un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G, donc il résulte de (1) que la plus grande puissance de <math>p</math> divisant <math>\vert N_{G}(Q) \vert</math> est égale à la plus grande puissance de <math>p</math> divisant <math>\vert G \vert</math>, donc chaque <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de <math>N_{G}(Q)</math> est un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G. Pour prouver la thèse (2), il reste à prouver que tout <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de <math>N_{G}(Q)</math> contient Q. Or Q est un <math>p</math>-sous-groupe normal de <math>N_{G}(Q)</math>, donc, d'après le problème 10, point b), il est contenu dans tout <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de <math>N_{G}(Q) .</math>
}}
Remarque. Si G est un groupe fini, <math>p</math> un nombre premier et Q un <math>p</math>-sous-groupe de G, si on ne suppose pas que G est normal dans chaque <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G contenant Q, il n'est pas forcément vrai que le nombre des <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G contenant Q divise l'ordre de G. On en verra un contre-exemple dans [[../Intermède : groupes simples d'ordre 168/|les exercices sur les groupes simples d'ordre 168]].
== Références ==
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