« Calcul différentiel/Exercices/Inversion locale, fonctions implicites » : différence entre les versions
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Ligne 25 :
==Exercice 2==
Soit <math>\varphi:\R^2\to\R^2,\ (x,y)\mapsto(x-\sin(y/2)
#Justifier que <math>\varphi</math> est de classe C{{exp|1}}, calculer sa différentielle et voir que <math>\mathrm D\varphi(x,y)</math> est inversible pour tout <math>(x,y)\in\R^2</math>.
#Montrer que <math>\varphi</math> est injective et en déduire que c'est un C{{exp|1}}-difféomorphisme de <math>\R^2</math> sur <math>\varphi(\R^2)</math>. Justifier que <math>\varphi(\R^2)</math> est un ouvert.
#Montrer que <math>\varphi^{-1}</math> (définie sur <math>\varphi(\R^2)</math>) est lipschitzienne (quelle que soit la norme choisie sur <math>\R^2</math>).
#En déduire que <math>\varphi</math> est un difféomorphisme de <math>\R^2</math> sur <math>\R^2</math>.
#Soit <math>p=(
{{Solution|contenu=
#<math>\varphi</math> a ses deux composantes de classe C{{exp|1}} ; elle l'est donc aussi. <math>J\varphi(x,y)=\begin{pmatrix}
#Supposons <math>\varphi(x_1,y_1)=\varphi(x_2,y_2)</math>. Alors, <math>x_1-\sin(y_1/2)
#Soient <math>(X_1,Y_1),(X_2,Y_2)\in\varphi(\R^2)</math> avec <math>\varphi(x_1,y_1)=(X_1,Y_1)</math> et <math>\varphi(x_2,y_2)=(X_2,Y_2)</math> ou encore <math>\varphi^{-1}(X_1,Y_1)=(x_1,y_1)</math> et <math>\varphi^{-1}(X_2,Y_2)=(x_2,y_2)</math>.<br>En choisissant par exemple comme norme sur <math>\R^2</math> : <math>\|(x,y)\|=|x|+|y|</math>, on a<br><math>\|\varphi^{-1}(X_1,Y_1)-\varphi^{-1}(X_2,Y_2)\|=\|(x_1,y_1)-(x_2,y_2)\|=\|(x_1-x_2,y_1,y_2)\|=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|</math>.<br>Or <math>x_1-\sin(y_1/2)
#Il reste à montrer que l'ensemble <math>\varphi(\R^2)</math> (ouvert non vide) est égal à <math>\R^2</math>. Par [[Topologie générale#Connexité|connexité]] de <math>\R^2</math>, il suffit pour cela de montrer que cet ensemble est fermé.<br>Soit <math>(X_n,Y_n)</math> une suite dans <math>\varphi(\R^2)</math>, convergeant vers un élément <math>(X,Y)</math> de <math>\R^2</math>. Puisque <math>(X_n,Y_n)</math> est de Cauchy et que <math>\varphi^{-1}</math> est lipschitzienne, la suite <math>(x_n,y_n):=\varphi^{-1}(X_n,Y_n)</math> est de Cauchy. Elle converge donc vers un élément <math>(x,y)</math> de <math>\R^2</math>, et <math>(X_n,Y_n)=\varphi(x_n,y_n)\to\varphi(x,y)</math> donc <math>(X,Y)=\varphi(x,y)\in\varphi(\R^2)</math>.
#<math>p=\varphi(\pi/2,\pi)</math>. Par conséquent, <math>J\varphi^{-1}(p)=(J\varphi(\pi/2,\pi))^{-1}=\begin{pmatrix}
}}
Généralisation : soit <math>F:\R^n\to \R^n</math> différentiable. On suppose qu'il existe <math>C>0</math> tel que pour tout <math>x,y\in\R^n</math>
:(*) <math>\|F(x)-F(y)\|\ge C\|x-y\|</math>.
#Justifier que <math>F</math> est injective.
#Montrer que pour tous <math>y,e\in\R^n</math>, <math>\|DF(y)[e]\|\ge C\|e\|</math> (on pourra prendre <math>x=y+te</math> dans (*) puis faire tendre <math>t</math> vers <math>0</math>).
#Soit <math>a\in\R^n</math>. Montrer que <math>\lim_{\|x\|\to+\infty}\|F(x)-a\|=+\infty</math>.
#En déduire que la fonction <math>g:x\mapsto\|F(x)-a\|_2^2</math> admet un minimum global sur <math>\R^n</math>. En calculant son gradient en ce point de minimum, montrer qu'il existe <math>x_a\in \R^n</math> tel que <math>F(x_a)=a</math>.
#Conclure que <math>F</math> est surjective de <math>\R^n</math> sur <math>\R^n</math>.
#Application : soit <math>f:\R\to\R</math> dérivable. On suppose qu'il existe <math>\kappa\in\left]0,1\right[</math> tel que <math>\forall t\in\R\quad|f'(t)|\le\kappa</math>. On définit alors la fonction <math>\varphi:\R^2\to\R^2,\;(x,y)\mapsto(x+f(y),y+f(x))</math>. Montrer que <math>|f(t)-f(s)|\le\kappa|t-s|</math> et en déduire que <math>\langle\varphi(x,y)-\varphi(u,v),(x,y)-(u,v)\rangle\ge(1-\kappa)\|(x,y)-(u,v)\|_2^2</math> (et donc <math>\|\varphi(x,y)-\varphi(u,v)\|_2\ge(1-\kappa)\|(x,y)-(u,v)\|_2</math> d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz, si bien que d'après tout ce qui précède, <math>\varphi:\R^2\to\R^2</math> est bijective).
{{Solution|contenu=
#<math>F</math> est injective car si <math>F(x)=F(y)</math> alors <math>C\|x-y\|\le0</math> donc <math>x=y</math>.
#En suivant l'indication, on obtient : <math>\|F(y+te)-F(y)\|\ge C|t|\|e\|</math>. Après division par <math>|t|</math> (pour <math>t\ne0</math>), on en déduit, par passage à la limite quand <math>t\to0</math> : <math>\|DF(y)[e]\|\ge C\|e\|</math>.
#<math>\|F(x)-a\|\ge\|F(x)-F(0)\|-\|a-F(0)\|\ge C\|x\|-\|a-F(0)\|</math>, donc <math>\lim_{\|x\|\to+\infty}\|F(x)-a\|=+\infty</math>.
#La fonction <math>g:x\mapsto\|F(x)-a\|_2^2</math> (continue) admet donc (au moins) un point de minimum global (d'après l'exercice...). En un tel point <math>x_a</math>, son gradient est nul. Or (pour tout point <math>x</math> et tout vecteur <math>e</math>) <math>\langle\nabla_g(x),e\rangle=D_g(x)(e)=2\langle F(x)-a,DF(x)[e]\rangle</math>. La nullité du vecteur <math>\nabla_g(x_a)</math> se traduit donc par : <math>F(x_a)-a</math> est orthogonal à <math>DF(x_a)[e]</math> pour tout vecteur <math>e</math>. Mais d'après la question 2, pour tout <math>x\in\R^n</math>, l'application linéaire <math>DF(x):\R^n\to\R^n</math> est injective donc surjective. Par conséquent, le vecteur <math>F(x_a)-a</math> est orthogonal à <math>\R^n</math> tout entier, donc ce vecteur est nul, c'est-à-dire : <math>F(x_a)=a</math>.
#Pour tout <math>a\in\R^n</math>, il existe <math>x_a\in\R^n</math> tel que <math>F(x_a)=a</math>. Donc <math>F</math> est surjective de <math>\R^n</math> sur <math>\R^n</math>.
#<math>|f(t)-f(s)|\le\kappa|t-s|</math> résulte immédiatement de la majoration de <math>|f'|</math> et de l'inégalité des accroissements finis.<br><math>\begin{aligned}\langle\varphi(x,y)-\varphi(u,v),(x,y)-(u,v)\rangle&=(x-u)^2+(y-v)^2+(f(y)-f(v))(x-u)+(f(x)-f(u))(y-v)\\
&\ge(x-u)^2+(y-v)^2-2\kappa|x-u||y-v|\\
&\ge(1-\kappa)\|(x,y)-(u,v)\|_2^2.\end{aligned}</math>
}}
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