« Théorie des groupes/Exercices/Théorèmes de Sylow » : différence entre les versions
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Remarque. Si G est un groupe fini, <math>p</math> un nombre premier et Q un <math>p</math>-sous-groupe de G, si on ne suppose pas que G est normal dans chaque <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G contenant Q, il n'est pas forcément vrai que le nombre des <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G contenant Q divise l'ordre de G. On en verra un contre-exemple dans [[../Intermède : groupes simples d'ordre 168/|les exercices sur les groupes simples d'ordre 168]].
== Problème 12 ==
Soit G un groupe fini, soit <math>p</math> un nombre premier. On suppose que les <math>p</math>-sous-groupes de Sylow de G sont ''abéliens''.<br />
Soit Q un <math>p</math>-sous-groupe de G.
a) Prouver que les <math>p</math>-sous-groupes de Sylow de G contenant Q sont exactement les <math>p</math>-sous-groupes de Sylow de <math>N_{G}(Q)</math>. Prouver que leur nombre est congru à 1 modulo <math>p</math> et divise le plus grand facteur non divisible par <math>p</math> de <math>\vert G \vert .</math><br />
Indication : on peut utiliser le problème 11.
{{Solution
| contenu =
Tout <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G contenant Q est abélien par hypothèse et normalise donc Q. Dès lors, l'énoncé résulte du problème 11.
}}
b) Prouver que les <math>p</math>-sous-groupes de Sylow de G contenant Q sont exactement les <math>p</math>-sous-groupes de Sylow de <math>C_{G}(Q) .</math>
{{Solution
| contenu =
On va calquer la démonstration sur celle du problème 11, point c).<br />
Soit P un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G contenant Q. D'après les hypothèses générales, P est abélien, donc, puisque Q est contenu dans P, P centralise Q, autrement dit P est contenu dans <math>C_{G}(Q) .</math> Ainsi, P est un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G contenu dans <math>C_{G}(Q)</math>, ce qui entraîne clairement que P est un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de <math>C_{G}(Q) .</math> Nous avons donc prouvé que
:(1)<math>\quad </math>tout <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G contenant Q est un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de <math>C_{G}(Q) .</math>
Il reste à prouver la réciproque, à savoir que
:(thèse 2)<math>\quad </math>tout <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de <math>C_{G}(Q)</math> est un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G contenant Q.
D'après les théorèmes de Sylow, Q est contenu dans un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow <math>P_{0}</math> de G. D'après (1), <math>P_{0}</math> est un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de <math>C_{G}(Q)</math>. Donc <math>P_{0}</math> est à la fois un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G et un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de <math>C_{G}(Q)</math>, donc la plus grande puissance de <math>p</math> divisant <math>\vert G \vert</math> et la plus grande puissance de <math>p</math> divisant <math>\vert C_{G}(Q) \vert</math> sont égales, donc
:(3)<math>\quad </math>tout <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de <math>C_{G}(Q)</math> est un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G.
Donc pour prouver la thèse (2), il reste à prouver que tout <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de <math>C_{G}(Q)</math> contient Q. Puisque Q est normal dans <math>C_{G}(Q)</math>, cela résulte du problème 10, point b).
}}
c) Toujours dans l'hypothèse où les <math>p</math>-sous-groupes de Sylow de G sont ''abéliens'', soient <math>Q_{1}</math> et <math>Q_{2}</math> des <math>p</math>-sous-groupes de G (non forcément distincts). Prouver que les quatre conditions suivantes sont équivalentes :
:1° <math>Q_{1}</math> et <math>Q_{2}</math> sont contenus dans un même <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G;
:2° <math>Q_{1}</math> et <math>Q_{2}</math> se centralisent;
:3° <math>Q_{1}</math> normalise <math>Q_{2}</math>;
:4° <math>Q_{2}</math> normalise <math>Q_{1}</math>
{{Solution
| contenu =
Si <math>Q_{1}</math> et <math>Q_{2}</math> sont contenus dans un même <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G, soit P, alors, d'après les hypothèses générales, P est abélien, donc <math>Q_{1}</math> et <math>Q_{2}</math> sont contenus dans un même sous-groupe abélien de G, donc ils se centralisent. Cela prouve que 1° entraîne 2°.<br />
Si <math>Q_{1}</math> et <math>Q_{2}</math> se centralisent, alors <math>Q_{1}</math> normalise <math>Q_{2}</math>. Cela prouve que 2° entraîne 3°.<br />
Si <math>Q_{1}</math> normalise <math>Q_{2}</math>, alors le sous-groupe <math>\langle Q_{1}, Q_{2} \rangle </math> de G engendré par <math>Q_{1}</math> et <math>Q_{2}</math> est égal à <math>Q_{1} Q_{2}</math>, donc, d'après la formule du produit, <math>\langle Q_{1}, Q_{2} \rangle </math> est un <math>p</math>-sous-groupe de G, donc, d'après les théorèmes de Sylow, <math>\langle Q_{1}, Q_{2} \rangle </math> est contenu dans un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G, ce qui revient à dire que <math>Q_{1}</math> et <math>Q_{2}</math> sont contenus dans un même <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G. Cela montre que 3° entraîne 1°.<br />
Donc (dans l'hypothèse où les <math>p</math>-sous-groupes de Sylow de G sont abéliens) les conditions 1°, 2° et 3° sont équivalentes. En échangeant <math>Q_{1}</math> et <math>Q_{2}</math>, on voit que les conditions 1°, 2° et 4° sont équivalentes, donc les conditions 1° à 4° sont équivalentes.
}}
== Références ==
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