« Théorie des groupes/Exercices/Théorèmes de Sylow » : différence entre les versions
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→Problème 10 (p-sous-groupes normaux) : Supprimé double emploi avec le chapitre théorique. |
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Ligne 243 :
Puisque, par hypothèse, un des deux sous-groupes P et Q normalise l'autre, le sous-groupe <math>\langle P, Q \rangle</math> de G est égal à PQ. Par exemple d'après la formule du produit, il en résulte que l'ordre de <math>\langle P, Q \rangle</math> est une puissance de <math>p</math>, autrement dit <math>\langle P, Q \rangle</math> est un <math>p</math>-sous-groupe de G. Puisque ce sous-groupe contient P, il résulte de la maximalité des <math>p</math>-sous-groupes de Sylow dans l'ensemble des <math>p</math>-sous-groupes que <math>\langle P, Q \rangle = P</math>, donc P contient Q.
}}
b) Soit R un <math>p</math>-sous-groupe '''normal''' de G.
{{Solution
| contenu =
Soit P un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G. Puisque, par hypothèse, R est normal dans G, P normalise R, donc, d'après le point a), P contient R, ce qui démontre l'énoncé.
}}
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