« Espace euclidien/Exercices/Espaces euclidiens » : différence entre les versions

X^2-\frac13</math> donc<br><math>\|w\|=\sqrt{\int_{-1}^1(x^4-(2/3)x^2+1/9)\,\mathrm dx}=\sqrt{\int_{-1}^1(x^4-(2/3)x^2+1/9)\,\mathrm dx}=\sqrt{\frac8{45}}</math> et<br><math>e_3=\sqrt{\frac{45}8}(X^2-\frac13)=\sqrt{\frac58}(3X^2-1)</math>.<br><math>p(v)=\varphi(v,e_1)e_1+\varphi(v,e_2)e_2+\varphi(v,e_3)e_3</math><br><math>=\frac12\int_{-1}^1x^3\,\mathrm dx+\frac32X\int_{-1}^1x^4\,\mathrm dx+\frac58(3X^2-1)\int_{-1}^1x^3(3x^2-1)\,\mathrm dx=\frac35X</math>.<br>Dans cette question et la suivante, l'équation de l'hyperplan <math>\operatorname{Vect}(F)</math> est simplement <math>t=0</math>, en notant <math>(x,y,z,t)</math> les coordonnées d'un polynôme de <math>\R_3[X]</math> dans la base canonique <math>(1,X,X^2,X^3)</math>.

#<math>e_1=1</math>.<br><math>e_2=\frac u{\|u\|}</math> avec <math>u=X-\int_0^1x\,\mathrm dx=X-1/2</math> donc<br><math>\|u\|^2=\int_0^1(x^2-x+1/4)\,\mathrm dx=1/3-1/2+1/4=1/12</math> et <math>e_2=(X-1/2)\sqrt{12}=(2X-1)\sqrt3</math>.<br><math>e_3=\frac w{\|w\|}</math> avec <math>w=X^2-\frac13-3(2X-1)\int_0^1(2x^3-x^2)\,\mathrm dx=X^2-X+\frac16</math> donc<br><math>\|w\|^2=\int_0^1(x^4-2x^3+4x^2/3-x/3+1/36)\,\mathrm dx=1/5-1/2+4/9-1/6+1/36=1/180</math> et<br><math>e_3=\sqrt{180}(X^2-X+1/6)=\sqrt5(6X^2-6X+1)</math>.<br><math>p(v)=\varphi(v,e_1)e_1+\varphi(v,e_2)e_2+\varphi(v,e_3)e_3</math><br><math>=\int_0^1x^3\,\mathrm dx+3(2X-1)\int_0^1(2x^4-x^3)\,\mathrm dx+5(6X^2-6X+1)\int_0^1x^3(6x^2-x+1)\,\mathrm dx</math><br><math>=1/4+(6X-3)3/20+(6X^2-6X+1)/4=(30X^2-12X+1)/20</math>.

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