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==Exercice 1-17==
#Trouver une base orthonormée de <math>E=\R_3[X]</math> pour le produit scalaire <math>\varphi(P,Q)=\int_{-1}^1P(
#Pour tout réel <math>t</math>, montrer qu'il existe un polynôme <math>Q_t</math> tel que <math>\forall P\in E\quad P(t)=\varphi(P,Q_t)</math>. Déterminer explicitement <math>Q_t</math> en fonction de <math>t</math>.
{{Solution|contenu=
#D'après l'exercice précédent (question 4), <math>e_1=1/\sqrt2</math>, <math>e_2=\sqrt{3/2}X</math>, <math>e_3=\sqrt{\frac58}(3X^2-1)</math> et le projeté de <math>X^3</math> sur <math>\operatorname{Vect}(e_1,e_2,e_3)</math> est <math>3X/5</math> donc <math>e_4=\frac z{\|z\|}</math> avec <math>z=X^3-3X/5</math> donc <math>\|z\|^2=\int_{-1}^1(x^6-6x^4/5+9x^2/25)\,\mathrm dx=2(1/7-6/25+3/25)=8/(7\times25)</math> et <math>e_4=\sqrt{\frac78}(5X^3-3X)</math>.
#Pour tout <math>t\in\R</math>, l'application <math>P\mapsto P(t)</math> est une forme linéaire sur <math>E</math> donc d'après le théorème de représentation de Riesz, elle est de la forme <math>P\mapsto\varphi(P,Q_t)</math> pour un certain <math>Q_t\in E</math> (unique).<br><math>Q_t=\sum_{i=1}^4\varphi(e_i,Q_t)e_i=\sum_{i=1}^4e_i(t)e_i=\frac12+\frac32tX+\frac58(3t^2-1)(3X^2-1)+\frac78(5t^3-3t)(5X^3-3X)</math><br><math>=\frac{35}8(5t^3-3t)X^3+\frac{15}8(3t^2-1)X^2+\frac{15}8(-7t^3+5t)X+\frac38(-5t^2+3)</math>.
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