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Ligne 199 :
{{Solution|contenu=
#D'après l'exercice précédent (question 4), <math>e_1=1/\sqrt2</math>, <math>e_2=\sqrt{3/2}X</math>, <math>e_3=\sqrt{\frac58}(3X^2-1)</math> et le projeté de <math>X^3</math> sur <math>\operatorname{Vect}(e_1,e_2,e_3)</math> est <math>3X/5</math> donc <math>e_4=\frac z{\|z\|}</math> avec <math>z=X^3-3X/5</math> donc <math>\|z\|^2=\int_{-1}^1(x^6-6x^4/5+9x^2/25)\,\mathrm dx=2(1/7-6/25+3/25)=8/(7\times25)</math> et <math>e_4=\sqrt{\frac78}(5X^3-3X)</math>.
#Pour tout <math>t\in\R</math>, l'application <math>P\mapsto P(t)</math> est une forme linéaire sur <math>E</math> donc d'après le [[w:Théorème de représentation de Riesz (Fréchet-Riesz)|théorème de représentation de Riesz]], elle est de la forme <math>P\mapsto\varphi(P,Q_t)</math> pour un certain <math>Q_t\in E</math> (unique).<br><math>Q_t=\sum_{i=1}^4\varphi(e_i,Q_t)e_i=\sum_{i=1}^4e_i(t)e_i=\frac12+\frac32tX+\frac58(3t^2-1)(3X^2-1)+\frac78(5t^3-3t)(5X^3-3X)</math><br><math>=\frac{35}8(5t^3-3t)X^3+\frac{15}8(3t^2-1)X^2+\frac{15}8(-7t^3+5t)X+\frac38(-5t^2+3)</math>.
}}
==Exercice 1-18==
Trouver une base orthonormée de <math>E=\R_3[X]</math> pour le produit scalaire <math>\varphi(P,Q)=\sum_{i=0}^3P(i)Q(i)</math>.
{{Solution|contenu=
<math>e_1=\frac1{\|1\|}=\frac12</math>.<br><math>e_2=\frac u{\|u\|}</math> avec <math>u=X-\varphi(e_1,X)e_1=X-3/2</math> donc <math>\|u\|^2=(-3/2)^2+(-1/2)^2+(1/2)^2+(3/2)^2=5</math> et <math>e_2=\frac{X-3/2}{\sqrt5}</math>.<br><math>e_3=\frac v{\|v\|}</math> avec <math>v=X^2-\varphi(e_1,X^2)e_1-\varphi(e_2,X^2)e_2</math><br><math>=X^2-\frac14(1+4+9)-\frac15(-1/2+2+27/2)(X-3/2)=X^2-3X+1</math> donc<br><math>\|v\|^2=1^2+(-1)^2+(-1)^2+1^2=4</math> et <math>e_3=\frac12(X^2-3X+1)</math>.<br><math>e_4=\frac w{\|w\|}</math> avec <math>w=X^3-\varphi(e_1,X^3)e_1-\varphi(e_2,X^3)e_2-\varphi(e_3,X^3)e_3=</math><br><math>X^3-\frac14(1+8+27)-\frac15(-1/2+4+81/2)(X-3/2)-\frac14(-1-8+27)(X^2-3X+1)=</math><br><math>X^3-9-\frac{44}5(X-3/2)-\frac92(X^2-3X+1)=
X^3-9X^2/2+47X/10-3/10</math> donc<br><math>\|w\|^2=(-3/10)^2+(9/10)^2+(-9/10)^2+(3/10)^2=9/5</math> et<br><math>e_4=\frac{\sqrt5}3(X^3-9X^2/2+47X/10-3/10)</math>.
}}
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