Espace euclidien/Exercices/Projection et symétrie orthogonales

Exercice 5-1

Soit ${\mathcal {B}}=(e_{1},e_{2},e_{3})$ une base orthonormée d'un espace vectoriel euclidien $E$. Soit $p$ l'endomorphisme dont la matrice dans la base ${\mathcal {B}}$ est

$M={\frac {1}{11}}{\begin{pmatrix}2&-3&3\\-3&10&1\\3&1&10\end{pmatrix}}$.

Montrer que $p$ est une projection orthogonale et préciser sa « base » $\operatorname {Im} p$.

Solution

L'ensemble des vecteurs fixes par $p$ est le plan $F$ d'équation $3x+y-z=0$ et le vecteur normal $3e_{1}+e_{2}-e_{3}$ appartient à $\ker p$. Donc $p$ est la projection orthogonale sur $F$.