« Espace euclidien/Exercices/Projection et symétrie orthogonales » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
→Exercice 5-3 : +1 |
+1 |
||
Ligne 28 :
==Exercice 5-3==
On munit <math>E=\R_n[X]</math> du produit scalaire <math>\varphi(P,Q)=\int_0^1P(x)Q(x)\,\mathrm dx</math>. Soit <math>D\in E</math> un polynôme de
degré <math>d</math>, avec <math>0<d\le n</math>. Pour tout <math>P\in E</math>, on note <math>f(P)</math> le reste de la division euclidienne de <math>P</math> par <math>D</math>.
Ligne 70 ⟶ 41 :
==Exercice 5-4==
Soit <math>E=\mathrm M_4(\R)</math> muni du produit scalaire <math>\varphi(P,Q)=\frac14\operatorname{trace}({}^{\mathrm t}\!P\,Q)</math>. Soient
:<math>U=\begin{pmatrix} 0& 1 &0 & 0 \\ 0 & 0 & 1& 0 \\ 0&0&0 & 1\\ 1& 0&0&0\end{pmatrix}, \qquad F=\operatorname{Vect}(I,U,U^2,U^3), \qquad V=\begin{pmatrix} 1& 0 &0 & 0 \\ 1 &0 & 0 & 0 \\ 1&0&0&0 \\ 1& 0&0&0\end{pmatrix}</math>.
# Montrer que <math>(I,U,U^2,U^3)</math> est une base orthonormale de <math>F</math>.
# Déterminer la projection orthogonale de <math>V</math> sur <math>F</math>.
# En déduire la distance de <math>V</math> à <math>F</math>.
{{Solution|contenu=
#<math>U</math> est la matrice d'une permutation circulaire d'ordre <math>4</math> donc pour tous <math>i,j\in\{0,1,2,3\}</math>, le réel <math>\varphi(U^i,U^j)=\frac14\operatorname{trace}(U^{j-i})</math> vaut <math>1</math> si <math>i=j</math> et <math>0</math> sinon.
#<math>p(V)=\sum_{i=0}^3\varphi(U^i,V)U^i</math>.<br><math>{}^{\mathrm t}\!U^iV=V</math> donc <math>p(V)=\frac14\sum_{i=0}^3U^i=\frac14\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\end{pmatrix}</math>.
#<math>d(V,F)=\|p(V)-V\|=\frac14\left\|\begin{pmatrix}-3&1&1&1\\-3&1&1&1\\-3&1&1&1\\-3&1&1&1\end{pmatrix}\right\|=\frac14\sqrt{4(9+1+1+1)}=\sqrt3</math>.
}}
| |||