« Espace euclidien/Exercices/Projection et symétrie orthogonales » : différence entre les versions
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Ligne 50 :
#<math>p(V)=\sum_{i=0}^3\varphi(U^i,V)U^i</math>.<br><math>{}^{\mathrm t}\!U^iV=V</math> donc <math>p(V)=\frac14\sum_{i=0}^3U^i=\frac14\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\end{pmatrix}</math>.
#<math>d(V,F)=\|p(V)-V\|=\frac14\left\|\begin{pmatrix}-3&1&1&1\\-3&1&1&1\\-3&1&1&1\\-3&1&1&1\end{pmatrix}\right\|=\frac14\sqrt{4(9+1+1+1)}=\sqrt3</math>.
}}
==Exercice 5-5==
On se place dans <math>\R^3</math> muni de son produit scalaire usuel. Pour quelles valeurs de <math>t\ne 0</math> la matrice
:<math>M=-\frac23\begin{pmatrix}-\frac12&t&1\\t^{-1}&-\frac12&t^{-1}\\1&t&-\frac12\end{pmatrix}</math>
représente-t-elle (dans la base canonique de <math>\R^3</math>) une symétrie orthogonale ?
{{Solution|contenu=
<math>\ker(M-\mathrm I_3)</math> est le plan d'équation <math>x+ty+z=0</math> et <math>\ker(M+\mathrm I)</math> est la droite de vecteur directeur <math>(t,1,t)</math>.
<math>M</math> représente une symétrie orthogonale si et seulement si ces deux sous-espaces sont orthogonaux, c.-à-d. <math>(t,1,t)</math> colinéaire à <math>(1,t,1)</math>, ce qui équivaut à <math>t=\pm1</math>.
}}
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