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== Exercice 6-3==
[[Réduction des endomorphismes|Diagonaliser]] dans une base orthonormée la matrice
:<math>A=\begin{pmatrix}6&-2&2\\-2&5&0\\2&0&7\end{pmatrix}</math>.
{{Solution|contenu=
On calcule le [[Réduction des endomorphismes/Valeurs et vecteurs propres - Polynôme caractéristique#Polynôme caractéristique|polynôme caractéristique]]
:<math>\det(A-\lambda\mathrm I_3)=(3-\lambda)(6-\lambda)(9-\lambda)</math>.
Les valeurs propres de <math>A</math> sont donc <math>3</math>, <math>6</math> et <math>9</math>, et les sous-espaces propres associés sont des droites. On détermine
comme d'habitude des vecteurs propres, que l'on norme ; on obtient
:<math>v_3=\frac1\sqrt5(2,2,-1),\quad v_6=\frac1\sqrt5(-1,2,2),\quad v_9=\frac1\sqrt5(2,-1,2)</math>.
Ces vecteurs sont bien orthogonaux deux à deux, comme il se doit. On a donc bien diagonalisé <math>A</math> dans la base orthonormée <math>(v_3,v_6,v_9)</math>.
}}
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| idfaculté = mathématiques