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« Espace euclidien/Exercices/Adjoints et réduction spectrale » : différence entre les versions

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== Exercice 6-3==
On se place dans <math>E=\R _n[X]</math> muni du produit scalaire <math>\varphi(P,Q)=\int_{-1}^1P(x)Q(x)\,\mathrm dx</math>.
[[Réduction des endomorphismes|Diagonaliser]] dans une base orthonormée la matrice
 
:<math>A=\begin{pmatrix}6&-2&2\\-2&5&0\\2&0&7\end{pmatrix}</math>.▼
Soit <math>u</math> l'endomorphisme de <math>E</math> défini par
:<math>u(P)(X)=2XP'(X)+(X^2-1)P''(X)</math>.
#Montrer que <math>u</math> est diagonalisable et que si <math>A</math> et <math>B</math> sont des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes, alors <math>\varphi(A,B)=0</math>.
#Diagonaliser <math>u</math> pour <math>n\le3</math>.
{{Solution|contenu=
#Il suffit de montrer que <math>u</math> est [[w:Endomorphisme autoadjoint|autoadjoint]]. On remarque pour cela que <math>u(P)(X)</math> est le polynôme dérivé de <math>(X^2-1)P'(X)</math>. Comme ce polynôme s’annule en <math>\pm1</math>, une intégration par parties donne<br><math>\varphi(u(P),Q)=-\int_{-1}^1(X^2-1)P'(x)Q'(x)\,\mathrm dx</math>,<br>qui est bien symétrique en <math>P</math> et <math>Q</math>.
On calcule le [[Réduction des endomorphismes/Valeurs et vecteurs propres - Polynôme caractéristique#Polynôme caractéristique|polynôme caractéristique]]
#Comme <math>u</math> envoie un polynôme de degré <math>d</math> sur un polynôme de degré au plus <math>d</math>, il suffit de le diagonaliser pour <math>n=3</math>.<br>On calcule <math>u(1)=0,\quad u(X)=2X,\quad u(X^2)=6X^2-2,\quad u(X^3)=12X^3-6X</math>.<br>Les valeurs propres de <math>u</math> sont donc <math>0,\quad2,\quad6,\quad12</math>, et des vecteurs propres sont <math>v_0=1,\quad v_2=X,\quad v_6=X^2-\frac12,\quad v_{12}=X^3+\frac35X</math>. Comme il se doit, ces vecteurs propres sont orthogonaux par rapport à <math>\varphi</math> (on aurait pu aussi utiliser cette propriété pour les déterminer)
:<math>\det(A-\lambda\mathrm I_3)=(3-\lambda)(6-\lambda)(9-\lambda)</math>.
Les valeurs propres de <math>A</math> sont donc <math>3</math>, <math>6</math> et <math>9</math>, et les sous-espaces propres associés sont des droites. On détermine
comme d'habitude des vecteurs propres, que l'on norme ; on obtient
:<math>v_3=\frac1\sqrt5(2,2,-1),\quad v_6=\frac1\sqrt5(-1,2,2),\quad v_9=\frac1\sqrt5(2,-1,2)</math>.
Ces vecteurs sont bien orthogonaux deux à deux, comme il se doit. On a donc bien diagonalisé <math>A</math> dans la base orthonormée <math>(v_3,v_6,v_9)</math>.
}}
 
== Exercice 6-4==
On considère la matrice
▲:<math>AM=\begin{pmatrix}6\frac12&-2\frac14&2\frac14\-2\\frac14&5\frac13&0\frac5{12}\2\\frac14&0\frac5{12}&7\frac13\end{pmatrix}</math>.
# Montrer que la suite <math>(M^n)_{n\in\N}</math> converge. Que représente sa limite <math>N</math> ?
# Calculer <math>N</math>.
# Soit <math>(v_n)_{n\in\N}</math> une suite de vecteurs tels que <math>v_{n+1}=M(v_n)</math>. Converge-t-elle ? Si oui, quelle est sa limite ?
{{Solution|contenu=
#La matrice <math>M</math> est symétrique, donc il existe une matrice orthogonale <math>P</math> telle que <math>M=PDP^{-1}</math>, avec <math>D</math> diagonale. Alors <math>M=PD^nP^{-1}</math>, et cette suite converge si et seulement si la suite <math>(D^n)</math> converge, autrement dit si et seulement si les valeurs propres de <math>M</math> appartiennent à l'intervalle <math>\left]-1,1\right]</math>. De plus, la limite <math>N</math> est alors la projection orthogonale sur l'espace propre associé à la valeur propre <math>1</math>. Cette analyse suggère d'étudier la valeur propre <math>1</math>. On trouve comme sous-espace propre associé la droite engendrée par <math>v=(1,1,1)</math>. Comme on sait que <math>M</math> est diagonalisable dans une base orthogonale, on se place dans l'orthogonal de <math>v</math>, qui est le plan engendré par les vecteurs <math>e=(1,-1,0)</math> et <math>f=(0,1,-1)</math>. On constate alors que <math>M(f)=-f/12</math>, ce qui donne une deuxième valeur propre égale à <math>-1/12</math>. Comme la trace de <math>M</math> est égale à <math>7/6</math>, la troisième valeur propre doit valoir <math>1/4</math>, et la droite propre associée doit être orthogonale à v et à <math>f</math>, donc engendrée par <math>g=(2,-1,-1)</math>. Comme les trois valeurs propres sont dans l'intervalle <math>\left]-1,1\right]</math>, la suite <math>(M^n)</math> converge bien, et sa limite <math>N</math> est la projection orthogonale sur la droite engendrée par <math>v</math>.
#On sait que <math>N(f)=N(g)=0</math> et <math>N(v)=v</math>. On obtient la matrice de <math>N</math> dans la base canonique <math>(e_1,e_2,e_3)</math> en inversant la matrice de passage.<br>Comme <math>e_1=\frac{v+g}3</math>, <math>e_2=\frac{2v+3f-g}6</math> et <math>e_3=\frac{2v-3f-g}6</math>, on a <math>N(e_1)=N(e_2)=N(e_3)=\frac v3</math>. En conséquence, <math>N=\frac13\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}</math>.
#Puisque <math>M^n\to N</math>, <math>v_n=M^nv_0\to Nv_0</math>, qui est le projeté orthogonal de <math>v_0</math> sur la droite engendrée par <math>v</math>.
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