« Topologie générale/Espace métrique » : différence entre les versions

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Ce résultat est faux, pour s'en convaincre poser X = R, d la distance usuelle ; si d et inf(d,1) sont équivalentes il existe c > 0 tel que pour tout entier n > 0, nc = cd(n,0) <= c min[d(n,0),1] = min(n,1) = 1 ce qui est absurde.
→‎Produit d'espaces métriques : Ajout de la distance produit. La démonstration du dernier point "la topologie engendrée par sup [inf(d_k,1)]/2^k est la topologie produit dénombrable" reposait sur le fait qu'une distance d est métriquement équivalente à inf(d,1). C'est bien sûr faux si d ne rend pas l'espace borné donc faux dans le cas général. Pour avoir que les deux topologies coïncident je me suis placé dans le cas facile où toutes les métriques en jeu sont bornées par une même borne.
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* <math>\forall (x,y,z) \in E^3, d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z) </math> (inégalité triangulaire).
 
Le couple <math>(E,d)</math> est appelé '''espace métrique'''. En enlevant l'axiome de séparation pour <math>d</math> et en autorisant la valeur <math>+\infty</math> on a ce qu'on appelle une pseudo-distance. Une pseudo-distance est une distance mais l'inverse est faux en général.
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| titre=Exemple : distance uniforme
| contenu =
Soient <math>(E,d)</math> un espace métrique, <math>X</math> un ensemble, et <math>E^X</math> l'ensemble des applications de <math>X</math> dans <math>E</math>. On définit <math>d_{\infty}:E^X\times E^X\to\left[0,+\infty\right]</math> par : <math>d_{\infty}(f,g)=\sup_{x\in X}d(f(x),g(x))</math>. Ce n'est en général pas une distance sur <math>E^X</math> mais seulement une pseudo-distance car elle peut prendre la valeur <math>+\infty</math>. Mais l'application <math>e_{\infty}:=\min(1,d_{\infty})</math> est une distance sur <math>E^X</math>, qui induit la [[Topologie générale/Espace topologique#Exemples classiques d'espaces topologiques|topologie de la convergence uniforme]]. Le sous-espace des applications bornées est fermé dans <math>E^X</math> et sur ce sous-espace, <math>d_{\infty}</math> est une distance, [[w:Équivalence des distances|uniformément équivalente]] à <math>e_{\infty}</math>.
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==Produit d'espaces métriques==
{{Théorème|contenu=Tout produit fini ou dénombrable d'espaces métriques est métrisable. Plus précisément, pour toute suite <math>(E_k,d_k)_{k\in\N}</math> d'espaces métriques, on obtient une distance <math>d</math> dont la topologie associée coïncide avec la topologie produita :
*La distance produit définie par <math>d(x,y)=\max_{1 \leq k \leq n} d_k(x_k,y_k)</math> sur <math>\prod_{k=1}^nE_k</math>. La topologie induite par cette distance coïncide avec la topologie produit.
*Plus généralement on obtient une distance sur <math>\prod_{k=1}^nE_k</math> (<math>\forall n\in\N</math>), en posant<div style="text-align: center;"><math>d\Big((x_1,\ldots,x_n),(y_1,\ldots,y_n)\Big):=N\Big(d_1(x_1,y_1),\ldots,d_n(x_n,y_n)\Big)</math></div>où <math>N</math> est n'importe quelle norme sur <math>\R^n</math> croissante sur <math>(\R_+)^n</math> pour l'[[w:Relation d'ordre#ordreproduit|ordre produit]] (par exemple la [[Espaces vectoriels normés/Définitions - Éléments de Topologie#Définitions|distance associée à une norme ∥ ∥{{ind|''p''}}]], avec ''p'' ∈ [1, +∞]) ;
*sur <math>\prod_{k\in\N}E_k</math>, en posant <math>d'_k=\inf(d_k,1)</math> (<math>\forall k\in\N</math>) puis<div style="text-align: center;"><math>d(x,y):=\sup_{k\in\N}\frac{d'_k(x_k,y_k)}{2^k}</math>.</div>
*Dans le cas du produit dénombrable et lorsque les distances <math>d_k</math> sont uniformément bornées (i.e. il existe une constante réelle positive qui borne toutes les distances) alors on peut remplacer <math>d</math> par la distance définie par <math>d(x,y)=\sup d_n(x_n,y_n)</math>. Dès lors, la distance <math>d</math> produit la topologie du produit dénombrable.
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{{Démonstration déroulante|contenu=Les trois premiers points sont laissés en exercice (penser à montrer que l'inf d'une distance est d'une constante est encore une distance). Montrons seulement le dernier point, on montre que les deux topologies en question sont égales par double inclusion :
{{Démonstration déroulante|contenu=Le fait que <math>d</math> est une distance dans les deux cas, et que dans le premier cas elle définit bien la topologie du produit fini, est laissé en exercice. Montrons seulement que dans le second cas, la topologie associée à la distance <math>d</math> coïncide avec la topologie du produit dénombrable. Remarquons d'abord que pour tout <math>k\in\N</math>, <math>d'_k</math> est une [[w:Équivalence des distances|distance équivalente]] à <math>d_k</math> ##FAUX SUR R MUNI DE LA TOPOLOGIE USUELLE##, puis vérifions que chacune des deux topologies sur ∏{{ind|''k''∈ℕ}}''E{{ind|k}}'' est incluse dans l'autre :
*Tout ouvert de la prébase canonique du produit est, un ouvert pour ''d'', ouvert (c'est-à-dire voisinage de chacun de ses points) : un ouvert de la prébase est de la forme ''U '' = ∏{{ind|''k''∈ℕ}}''U{{ind|k}}'' où tous les ''U{{ind|k}}'' sont égaux aux ''E{{ind|k}}'', sauf l'un d'entre eux, ''U{{ind|n}}'', qui est seulement un ouvert de ''E{{ind|n}}''. Soit ''a'' un point de ''U'', alors ''a{{ind|n}}'' appartient à ''U{{ind|n}}'' donc pour ''r'' assez petit, la ''d'{{ind|n}}''-boule de centre ''a{{ind|n}}'' et de rayon ''r'' est incluse dans ''U(E{{ind|n}},d{{ind|n}})''. Ainsi,est incluse dans ''U''. C'est undonc voisinageque la boule de centre ''a'' pouret de rayon ''dr'' carde ill'espace contientproduit laest contenue dans ''dU''-boule. Ceci montre que tout ouvert pour de centrela prébase canonique est un ouvert pour ''ad'' et il s'en suit que tout ouvert de rayonl'espace produit est un ouvert pour 2{{exp|–''n''}}''rd''.
*Tout ouvert ''O'' pour ''d'' est ouvert pour la topologie produit : soit ''a'' un point de ''O''. Il existe ''r'' > 0 tel que la boule ''B''(de centre ''a'', et de rayon ''r'') soit incluse dans ''O'',. puisAlors ''n''on telconsidère quele produit 2{{exp|–''nV''}} <des ''r''.boules Posonsde ''U''centre = ∏{{ind|''k''∈ℕ}}''Ua{{ind|kn}}'' avecet ''U{{ind|k}}de =rayon B{{ind|d'{{ind|k}}}}'r/2'(', il s'a{{ind|k}}'agit d'un ouvert pour la topologie produit, 2il est contenu dans la boule de centre ''{{exp|k}}ra'') pouret 0de rayon ''k r'' donc est contenu dans ''nO'' et ''U{{ind|k}}il =contient E{{ind|k}}'' pour ''k > na''. Alors,On poura ladonc topologie produit,que ''UV'' est un voisinage de ''a'' inclus dans ''BO''(''a'', ''r''),pour doncla topologie produit de sorte que ''O'' est un voisinageouvert depour ''a''la topologie produit.
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