« Topologie générale/Espace métrique » : différence entre les versions
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Ce résultat est faux, pour s'en convaincre poser X = R, d la distance usuelle ; si d et inf(d,1) sont équivalentes il existe c > 0 tel que pour tout entier n > 0, nc = cd(n,0) <= c min[d(n,0),1] = min(n,1) = 1 ce qui est absurde. |
→Produit d'espaces métriques : Ajout de la distance produit. La démonstration du dernier point "la topologie engendrée par sup [inf(d_k,1)]/2^k est la topologie produit dénombrable" reposait sur le fait qu'une distance d est métriquement équivalente à inf(d,1). C'est bien sûr faux si d ne rend pas l'espace borné donc faux dans le cas général. Pour avoir que les deux topologies coïncident je me suis placé dans le cas facile où toutes les métriques en jeu sont bornées par une même borne. |
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* <math>\forall (x,y,z) \in E^3, d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z) </math> (inégalité triangulaire).
Le couple <math>(E,d)</math> est appelé '''espace métrique'''. En enlevant l'axiome de séparation pour <math>d</math> et en autorisant la valeur <math>+\infty</math> on a ce qu'on appelle une pseudo-distance. Une pseudo-distance est une distance mais l'inverse est faux en général.
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| titre=Exemple : distance uniforme
| contenu =
Soient <math>(E,d)</math> un espace métrique, <math>X</math> un ensemble, et <math>E^X</math> l'ensemble des applications de <math>X</math> dans <math>E</math>. On définit <math>d_{\infty}:E^X\times E^X\to\left[0,+\infty\right]</math> par : <math>d_{\infty}(f,g)=\sup_{x\in X}d(f(x),g(x))</math>. Ce n'est en général pas une distance sur <math>E^X</math> mais seulement une pseudo-distance car elle peut prendre la valeur <math>+\infty</math>. Mais l'application <math>e_{\infty}:=\min(1,d_{\infty})</math> est une distance sur <math>E^X</math>, qui induit la [[Topologie générale/Espace topologique#Exemples classiques d'espaces topologiques|topologie de la convergence uniforme]]. Le sous-espace des applications bornées est fermé dans <math>E^X</math> et sur ce sous-espace, <math>d_{\infty}</math> est une distance, [[w:Équivalence des distances|uniformément équivalente]] à <math>e_{\infty}</math>.
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==Produit d'espaces métriques==
{{Théorème|contenu=Tout produit fini ou dénombrable d'espaces métriques est métrisable. Plus précisément, pour toute suite <math>(E_k,d_k)_{k\in\N}</math> d'espaces métriques, on
*La distance produit définie par <math>d(x,y)=\max_{1 \leq k \leq n} d_k(x_k,y_k)</math> sur <math>\prod_{k=1}^nE_k</math>. La topologie induite par cette distance coïncide avec la topologie produit.
*Plus généralement on obtient une distance sur <math>\prod_{k=1}^nE_k</math> (<math>\forall n\in\N</math>), en posant<div style="text-align: center;"><math>d\Big((x_1,\ldots,x_n),(y_1,\ldots,y_n)\Big):=N\Big(d_1(x_1,y_1),\ldots,d_n(x_n,y_n)\Big)</math></div>où <math>N</math> est n'importe quelle norme sur <math>\R^n</math> croissante sur <math>(\R_+)^n</math> pour l'[[w:Relation d'ordre#ordreproduit|ordre produit]] (par exemple la [[Espaces vectoriels normés/Définitions - Éléments de Topologie#Définitions|distance associée à une norme ∥ ∥{{ind|''p''}}]], avec ''p'' ∈ [1, +∞]) ; *sur <math>\prod_{k\in\N}E_k</math>, en posant <math>d'_k=\inf(d_k,1)</math> (<math>\forall k\in\N</math>) puis<div style="text-align: center;"><math>d(x,y):=\sup_{k\in\N}\frac{d'_k(x_k,y_k)}{2^k}</math>.</div>
*Dans le cas du produit dénombrable et lorsque les distances <math>d_k</math> sont uniformément bornées (i.e. il existe une constante réelle positive qui borne toutes les distances) alors on peut remplacer <math>d</math> par la distance définie par <math>d(x,y)=\sup d_n(x_n,y_n)</math>. Dès lors, la distance <math>d</math> produit la topologie du produit dénombrable.
}}
{{Démonstration déroulante|contenu=Les trois premiers points sont laissés en exercice (penser à montrer que l'inf d'une distance est d'une constante est encore une distance). Montrons seulement le dernier point, on montre que les deux topologies en question sont égales par double inclusion :
*Tout ouvert de la prébase canonique du produit est
*Tout ouvert ''O'' pour ''d'' est ouvert pour la topologie produit : soit ''a'' un point de ''O''. Il existe ''r'' > 0 tel que la boule
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