« Espace euclidien/Exercices/Adjoints et réduction spectrale » : différence entre les versions
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On considère la matrice
:<math>M=\begin{pmatrix}\frac12&\frac14&\frac14\\\frac14&\frac13&\frac5{12}\\\frac14&\frac5{12}&\frac13\end{pmatrix}</math>.
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#On sait que <math>N(f)=N(g)=0</math> et <math>N(v)=v</math>. On obtient la matrice de <math>N</math> dans la base canonique <math>(e_1,e_2,e_3)</math> en inversant la matrice de passage.<br>Comme <math>e_1=\frac{v+g}3</math>, <math>e_2=\frac{2v+3f-g}6</math> et <math>e_3=\frac{2v-3f-g}6</math>, on a <math>N(e_1)=N(e_2)=N(e_3)=\frac v3</math>. En conséquence, <math>N=\frac13\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}</math>.
#Puisque <math>M^n\to N</math>, <math>v_n=M^nv_0\to Nv_0</math>, qui est le projeté orthogonal de <math>v_0</math> sur la droite engendrée par <math>v</math>.
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==Exercice 6-5==
Soient <math>a</math> et <math>b</math> des nombres réels. Diagonaliser la matrice
:<math>M=\begin{pmatrix}a&b&b\\b&a&b\\b&b&a\end{pmatrix}</math>.
En déduire <math>M^n</math> pour tout entier <math>n</math>.
{{Solution|contenu=
Le vecteur <math>v=(1,1,1)</math> est manifestement un vecteur propre de <math>M</math> pour la valeur propre <math>a+2b</math>.
<math>M</math> restreinte au plan <math>v^\bot</math> est <math>a-b</math> fois l'identité. Une base orthonormée de vecteurs propres est donc donnée par exemple par
:<math>v_1=\frac v\sqrt3</math>, <math>v_2=\frac{(0,1,-1)}\sqrt2</math>, <math>v_3=\frac{(2,-1,1)}\sqrt6</math>.
Si <math>P</math> est la matrice de passage de la base canonique à la base <math>(v_1,v_2,v_3)</math>, on a donc <math>P^{-1}MP=D</math>, avec <math>D</math> la matrice diagonale à coefficients diagonaux <math>(a+2b,a-b,a-b)</math>. On en déduit que <math>M^n= PD^nP^{-1}</math>, ce qui donne :
:<math>M^n=\begin{pmatrix}\frac1\sqrt3&0&\frac2\sqrt6\\\frac1\sqrt3&\frac1\sqrt2&-\frac1\sqrt6\\\frac1\sqrt3&-\frac1\sqrt2&-\frac1\sqrt6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}(a+2b)^n&0&0\\0&(a-b)^n&0\\0&0&(a-b)^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac1\sqrt3&\frac1\sqrt3&\frac1\sqrt3\\0&\frac1\sqrt2&-\frac1\sqrt2\\\frac2\sqrt6&-\frac1\sqrt6&\frac1\sqrt6\end{pmatrix}</math>
et donc après calcul :
:<math>M^n=\frac{(a+2b)^n}2\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}+\frac{(a-b)^n}3\begin{pmatrix}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{pmatrix}</math>.
(Autre méthode : écrire <math>M=(a-b)\mathrm I_3+3bN</math> et remarquer que <math>N</math> est un projecteur.)
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