« Espace euclidien/Exercices/Adjoints et réduction spectrale » : différence entre les versions
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→Exercice 6-4 : +1 |
m →Exercice 6-5 : +1^- |
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:<math>M^n=\frac{(a+2b)^n}2\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}+\frac{(a-b)^n}3\begin{pmatrix}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{pmatrix}</math>.
(Autre méthode : écrire <math>M=(a-b)\mathrm I_3+3bN</math> et remarquer que <math>N</math> est un projecteur.)
}}
==Exercice 6-6==
On se place dans <math>\mathrm M_n(\R)</math>. Soit <math>M</math> une matrice symétrique définie positive.
#Montrer qu'il existe une matrice symétrique définie positive <math>N</math> telle que <math>M=N^2</math>.
#Montrer que <math>N</math> est unique.<!--Attention, il est faux que si <math>D</math> est une matrice diagonale et <math>P</math> une matrice qui commute avec <math>D^2</math>, alors <math>P</math> commute aussi avec <math>D</math>. Exemple : D = diag(1,-1)-->
#Calculer <math>N</math> lorsque <math>M=\begin{pmatrix}5&2\\2&1\end{pmatrix}</math>.
{{Solution|contenu=
#Comme <math>M</math> est symétrique, il existe une matrice orthogonale <math>P</math> telle que <math>P^{-1}MP=D</math> diagonale. De plus, comme <math>M</math> est définie positive, ses valeurs propres sont strictement positives, autrement dit les coefficients diagonaux de <math>D</math> sont strictement positifs. En les remplaçant par leurs racines, on obtient une matrice diagonale <math>E</math> telle que <math>D=E^2</math>. En posant alors <math>N=PEP^{-1}</math>, on a :
#*<math>N^2=PE^2P^{-1}=M</math> ;
#*<math>{}^{\mathrm t}\!N={}^{\mathrm t}\!P^{-1}{}^{\mathrm t}\!E\,{}^{\mathrm t}\!P=PEP^{-1}=N</math> donc <math>N</math> est symétrique ;
#*<math>N</math> est définie positive car ses valeurs propres sont strictement positives.
#Réciproquement, soit <math>N</math> symétrique positive telle que <math>M=N^2</math>. Alors il existe une matrice orthogonale <math>P</math> telle que <math>P^{-1}NP=E</math> diagonale, d'où <math>P^{-1}MP=E^2</math>. Donc <math>N</math> et <math>M</math> ont les mêmes sous-espaces propres, et les valeurs propres associées pour <math>N</math> sont les racines carrées de celles pour <math>M</math>. Ceci détermine entièrement <math>N</math>.
#{{...}}
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