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« Théorie des groupes/Groupes nilpotents » : différence entre les versions

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Réuni deux théorèmes sous un théorème plus fort, qui permettra de prouver dans les exercices que tout groupe d'ordre 45 est abélien.
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Soient G un groupe, H un sous-groupe de G, K un sous-groupe normal de G. Pour que l'image canonique de H dans G/K soit contenue dans le centre de G/K, il faut et il suffit que {{nobr|[G, H]}} soit contenu dans K.
}}
Démonstration. Notons <math>\varphi</math> l'homomorphisme canonique de ''G'' sur ''G/K''. Dire que l'image canonique de H dans G/K est contenue dans le centre de G/K revient à dire que tout élément de <math>\varphi(H)</math> commute avec tout élément de G/K, autrement dit que <math>[\, \varphi(H), G/K \,] = 1</math>. Or, comme <math>G/K = \varphi(G)</math> et <math>\varphi</math> est un homomorphisme de groupes de noyau K, on a les équivalences suivantes  :
 
<!-- Il faut ruser un peu pour qu'amsmath ne croie pas que le premier crochet ouvrant marque le début d'un argument optionnel de l'environnement align, cf.  https://github.com/latex3/latex2e/issues/5 -->
<math>\begin{align}
{}[\, \varphi(H), G/K \,] = 1
Ligne 122 :
}}
 
On verra dans les exercices («  Groupes de matrices unitriangulaires ») que pour tout nombre naturel ''n'', il existe des groupes nilpotents de classe ''n''.
 
{{Théorème
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== Groupes nilpotents finis ==
 
Rappelons (chapitre [[../Théorèmes de Sylow/]]) que, ''p'' étant un nombre premier, un p-groupe fini estpeut se définir comme un groupe fini dont l’ordre est une puissance de ''p''.
 
{{Lemme
Ligne 286 :
Remarque. On trouvera un énoncé un peu plus précis en exercice.
 
Rappelons que, G étant un groupe fini et ''p'' un nombre premier, on dit que G est p-clos s'il n'a qu'un p-sous-groupe de Sylow, ce qui revient à dire que G a un p-sous-groupe de Sylow normal.
{{Proposition
| contenu =
Soit G un groupe nilpotent fini. Tout sous-groupe de Sylow de G est distingué dans G (et donc seul de son ordre parmi les sous-groupes de G).
}}
Démonstration. Soit P un sous-groupe de Sylow de G. Désignons par N le normalisateur N<sub>G</sub>(P). Il s'agit de prouver que N est G tout entier. D'après un théorème vu au chapitre ''Théorèmes de Sylow'', N est son propre normalisateur dans G. Or nous avons vu dans le présent chapitre que, dans un groupe nilpotent, un sous-groupe propre n’est pas son propre normalisateur. Donc N n’est pas sous-groupe propre de G, ce qui prouve notre argument.▼
 
{{Proposition
| contenu =
Soit G un groupe fini. Les conditions suivantes sont équivalentes :
Tout groupe fini nilpotent est le produit direct de ses sous-groupes de Sylow.▼
:(i) G est nilpotent;
}}
:(ii) pour chaque facteur premier <math>p</math> de G, G est <math>p</math>-clos;
 
▲Tout:(iii) groupe fini nilpotentG est le produit direct (interne) de ses sous-groupes de Sylow.;
Démonstration. Soient p<sub>1</sub>, ... p<sub>n</sub> les facteurs premiers de l’ordre de G. Il résulte de la proposition précédente que, pour chaque ''i'' (1 ≤ ''i'' ≤ ''n''), G admet un seul p<sub>i</sub>-sous-groupe de Sylow, soit P<sub>i</sub>, et que ce sous-groupe est distingué dans G. Les ordres des P<sub>i</sub> sont premiers entre eux deux à deux et le produit de ces ordres est égal à l’ordre de G. D'après un énoncé démontré au chapitre [[../Produit direct et somme restreinte/]], G est donc produit direct des P<sub>i</sub>, c'est-à-dire de ses sous-groupes de Sylow.▼
Un:(iv) groupe finiG est nilpotentproduit sidirect et(interne seulementou s'il est produit directexterne) de groupes dont les ordres sont des puissances de nombres premiers.▼
 
{{Corollaire
| contenu =
▲Un groupe fini est nilpotent si et seulement s'il est produit direct de groupes dont les ordres sont des puissances de nombres premiers.
}}
▲Démonstration. Prouvons que (i) entraîne (ii). Soit P un sous-groupe de Sylow de G. Il s'agit de prouver que P est normal dans G. Désignons par N le normalisateur N<sub>G</sub>(P). Il s'agit de prouver que N est G tout entier. D'après un théorème vu au chapitre ''Théorèmes de Sylow'', N est son propre normalisateur dans G. Or nous avons vu dans le présent chapitre que, dans un groupe nilpotent, un sous-groupe propre n’est pas son propre normalisateur. Donc N n’est pas sous-groupe propre de G, ceautrement quidit N est G tout entier, Comme nous l'avons vu, cela prouve notreque argument(i) entraîne (ii).<br />
Démonstration. Si un groupe fini est nilpotent, il est produit direct de ses sous-groupes de Sylow d’après la proposition précédente. Comme l’ordre d'un sous-groupe de Sylow est une puissance de nombre premier, G est donc produit direct de groupes dont les ordres sont des puissances de nombres premiers. Réciproquement, supposons qu'un groupe fini G soit produit direct de groupes H<sub>i</sub> dont les ordres sont des puissances de nombres premiers. D'après un des énoncés qui précèdent, chaque H<sub>i</sub> est nilpotent, donc G est un produit direct de groupes nilpotents. Or, comme démontré dans un des [[Théorie_des_groupes/Exercices/Groupes_nilpotents|exercices de ce chapitre]], le produit direct d'une famille finie de groupes nilpotents est nilpotent, donc G est nilpotent.▼
▲DémonstrationProuvons maintenant que (ii) entraîne (iii). Soient p<sub>1</sub>, ... p<sub>n</sub> les facteurs premiers de l’ordre de G. IlSi résultela decondition la(ii) propositionest précédentesatisfaite, quealors, pour chaque ''i'' (1 ≤ ''i'' ≤ ''n''), G admet un seul p<sub>i</sub>-sous-groupe de Sylow, soit P<sub>i</sub>, et que ce sous-groupe est distinguénormal dans G. Les ordres des P<sub>i</sub> sont premiers entre eux deux à deux et le produit de ces ordres est égal à l’ordre de G. D'après un énoncé démontré au chapitre [[../Produit direct et somme restreinte/]], G est donc produit direct des P<sub>i</sub>, c'est-à-dire de ses sous-groupes de Sylow. Cela prouve que (ii) entraîne (iii).<br />
Puisque les sous-groupes de Sylow de G ont pour ordre des puissances de nombres premiers, il est banal que (iii) entraîne (iv). <br />
▲Démonstration.Prouvons Sique un(iv) groupeentraîne fini est nilpotent, il est produit direct de ses sous-groupes de Sylow d’après la proposition précédente(i). CommeSi l’ordre d'un sous-groupe de Sylow(iv) est une puissance de nombre premiersatisfaite, G est donc produit direct de groupes dont les ordres sont des puissances de nombres premiers. Réciproquement, supposons qu'un groupe fini G soit produit direct de groupes H<sub>i</sub> dont les ordres sont des puissances de nombres premiers. D'après un des énoncés qui précèdent, chaque H<sub>i</sub> est nilpotent, donc G est un produit direct de groupes nilpotents. Or, comme démontré dans un des [[Théorie_des_groupes/Exercices/Groupes_nilpotents|exercices de ce chapitre]], le produit direct d'une famille finie de groupes nilpotents est nilpotent, donc G est nilpotent. Cela prouve que (iv) entraîne (i).
 
== Compléments ==
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