« Théorie des groupes/Exercices/Groupes nilpotents » : différence entre les versions

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a) Soient <math>p</math> un nombre premier et <math>G</math> un groupe d'ordre <math>p^{n}</math>, avec <math>n</math> naturel. Prouver que pour tout <math>i</math> dans <math>\{0, 1, \ldots , n \}</math>, <math>G</math> contient (au moins) un sous-groupe d'ordre <math>p^{i}.</math> (Autrement dit, pour tout nombre naturel <math>d</math> divisant <math>\vert G \vert</math>, <math>G</math> contient au moins un sous-groupe d'ordre <math>d.</math>)

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Soit <math>p_{1}^{n_{1}} \cdots p_{r}^{n_{r}}</math> la décomposition de <math>\vert G \vert</math> en facteurs premiers. Puisque <math>G</math> est nilpotent, il est produit direct <math>\prod_{1 \leq r} G_{i}</math>, où, pour chaque <math>i</math>, <math>G_{i}</math> est un sous-groupe d'ordre <math>p_{i}^{n_{i}}</math> de <math>G</math> (voir le chapitre théorique). D'autre part, nous avons <math>d = p_{1}^{n'_{1}} \cdots p_{r}^{n'_{r}}</math>, avec <math>n'_{i} \leq n_{i}</math> pour tout <math>i.</math> D'après le point a), il existe, pour chaque <math>i</math>, un sous-groupe <math>H_{i}</math> d'ordre <math>p_{i}^{n'_{i}}</math> de <math>G_{i}</math>. Alors le sous-groupe de G engendré par les <math>H_{i}</math> est produit direct des <math>H_{i}</math> et est donc d'ordre <math>p_{1}^{n'_{1}} \cdots p_{r}^{n'_{r}} = d</math>, ce qui prouve l'énoncé.

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