« Théorie des groupes/Exercices/Transfert, théorème du complément normal de Burnside » : différence entre les versions
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Ligne 209 :
== Problème 8 ==
Soit G un groupe simple fini, soit <math>p</math> un diviseur premier impair de l'ordre de G, soit P un
Indication : dans les [[../Groupes diédraux/|exercices sur le chapitre Groupes diédraux]], on a classifié les groupes non abéliens d'ordre <math>2p^{2} .</math>
{{Solution
| contenu =
Il résulte des hypothèses que l'ordre de G est composé, donc, puisque G est supposé simple, G est un groupe simple fini non abélien. D'autre part, il est clair que les <math>p</math>-sous-groupes de Sylow de G sont d'ordre <math>p^{2},</math> donc ils sont abéliens. Donc, d'après [[../../Transfert, théorème du complément normal de Burnside/|le chapitre théorique]],
:(1)<math>\qquad P \cap Z(N_{G}(P)) = 1</math>,
:(hyp. 1)<math>\qquad N_{G}(P)</math> soit produit direct interne <math>K \times L</math>, où K est un groupe d'ordre 3 et L un groupe isomorphe à <math>S_{3}.</math>▼
ce qui entraîne que <math>(N_{G}(P)</math> n'est pas abélien. On a vu dans les [[../Groupes diédraux/|exercices sur le chapitre Groupes diédraux]] (problème Classification des groupes d'ordre 18) que tout groupe non abélien d'ordre <math>2p^{2}</math> est isomorphe soit au groupe diédral d'ordre <math>2p^{2}</math>, soit au groupe diédral généralisé construit sur <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/p\mathbb{Z},</math> soit au produit direct <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times D_{2p}</math>, où <math>D_{2p}</math> désigne le groupe diédral d'ordre <math>2p .</math> Donc pour démontrer l'énoncé, il suffit de prouver que
:(thèse 2)<math>\qquad N_{G}(P) </math> n'est pas isomorphe au produit direct <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times D_{2p} .</math>
}} ▼
Supposons que cette thèse soit fausse, ce qui revient à supposer que
▲:(hyp.
Alors <math>Z(N_{G}(P)) = Z(K) \times Z(L) = K \times Z(L)</math>, donc
:(4)<math>\qquad Z(N_{G}(P))</math> contient K.
Puisque P est le seul p-sous-groupe de Sylow de <math>N_{G}(P)</math>, K est contenu dans P, donc, d'après (4), <math>P \cap Z(N_{G}(P)) \not= 1</math>, ce qui contredit (1). Cette contradiction prouve que notre hypothèse (3) est absurde, autrement dit notre thèse (2) est vraie. Comme nous l'avons vu, cela prouve l'énoncé.
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