« Géométrie symplectique/Géométrie symplectique linéaire » : différence entre les versions
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m →Exemples : meb |
m →Sous-espaces d'un espace symplectique : meb, ortho |
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===Sous-espaces d'un espace symplectique===
{{Définition|contenu=
<center><math>W^{o}=\{v\in V, \forall w\in V, \omega(v,w)=0\}</math>.</center>
L'orthogonal n'est pas nécessairement un sous-espace supplémentaire. Par exemple, l'orthogonal d'une droite vectorielle la contient.
}}
{{Propriété|titre=Propriétés|contenu=
Pour tous sous-espaces ''W''<sub>1</sub> et ''W''<sub>2</sub> d'un espace symplectique <math>(V,\omega)</math>, on a :
Ligne 201 ⟶ 206 :
:* (Involution) <math>(W_1^o)^o=W_1</math> ;
:* Identité des dimensions : <math>\dim W+\dim W^{o}=\dim V</math>.
}}
On a ainsi plusieurs cas particuliers :
{{Définition|titre=Définitions|contenu=
}}
▲:'''Un sous-espace vectoriel ''W'' d'une epsace symplectique <math>(V,\omega)</math> est appelé :'''
▲:* '''''isotropique'' lorsque ''W'' est contenu dans son orthogonal ;'''
▲:* '''''lagrangien'' lorsque ''W'' est égal à son orthogonal ;'''
▲:* '''''coistotropique'' lorsque ''W'' contient son orthogonal.'''
▲:'''En particulier, ''W'' est lagrangien ssi il est isotropique et coisotropique.'''
L'orthogonal d'un hyperplan ''H'' est une droite ''D''. L'orthogonal de ''D'', à savoir ''H'', doit contenir ''D''. Autrement dit, l'orthogonal de ''H'' est contenu dans ''H'' : tout hyperplan est nécessairement coisotropique.
{{Exemple|titre=Exemple 5|contenu=
}}
===Réduction symplectique===
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