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En fait, tout espace vectoriel symplectique peut être obtenu comme dans l'exemple 4. Plus exactement, toute forme symplectique sur un espace vectoriel réel peut être vue comme la partie imaginaire d'une forme hermitienne sur ''V'' muni d'une structure complexe.
 
{{Définition|contenu=
Une '''structure complexe''' (ou structure complexe linéaire) sur un espace vectoriel réel ''V'' est la réalisation de ''V'' comme espace vectoriel complexe. Elle est déterminée par la seule action de ''i'', donnée par un endomorphisme réel ''J'' de ''V'' vérifiant :
<center>:<math>J^2=-Id_V</math></center>
 
''Remarque :'' La structure complexe ''J'' est inversible et <math>\frac{Id+J}{\sqrt{2}}</math> est une racine carrée de ''J''.
}}
 
Alors :
{{Début cadre|rouge}}
 
:'''Si ''v'' est muni d'une forme symplectique <math>\omega</math>, une structure complexe ''J'' est appelée <math>\omega</math>-compatible lorsque :'''
{{Théorème|contenu=
::* '''''J'' est un isomorphisme symplectique, ce qui équivaut à ce que <math>g_J(v,w)=\omega(v,Jw)</math> définisse une forme bilinéaire symétrique ;'''
:'''Si ''v'' est muni d'une forme symplectique <math>\omega</math>, une structure complexe ''J'' est appeléedite <math>\omega</math>-compatible lorsque :'''
::*'''et <math>g_J</math> est définie positive. '''
 
:'''En particulier, <math>g_J</math> est un produit euclidien sur ''V'' ; et <math>h_J=g_J+i\omega</math> est un produit hermitien sur l'espace vectoriel complexe <math>(V,J)</math>.'''
::* '''''J'' est un isomorphisme symplectique, ce qui équivaut à ce que <math>g_J(v,w)=\omega(v,Jw)</math> définisse une forme bilinéaire symétrique ;'''
{{Fin cadre}}
::*'''et <math>g_J</math> est définie positive. '''
{{boîte déroulante|titre=Vérifications|contenu=
 
:* ''<math>g_J</math> est une forme bilinéaire symétrique :''
:'''En particulier, <math>g_J</math> est un produit euclidien sur ''V'' ; et <math>h_J=g_J+i\omega</math> est un produit hermitien sur l'espace vectoriel complexe <math>(V,J)</math>.'''}}
::En effet, pour tous vecteurs ''v'' et ''w'' de ''E'', comme ''J'' est un symplectique, il vient : <math>g_J(v,w)=\omega(v,Jw)=\omega(Jv,-w)=\omega(w,Jv)=g_J(v,w)</math> ;
 
:* ''<math>h_J</math> est un produit hermitien :''
 
::Le calcul est similaire : <math>h_J(v,Jw)=-\omega(v,w)+i\omega(v,Jw)=i.h_J(v,w)</math>. On montre ainsi que <math>h_J</math> est sesquilinéaire. Par ailleurs, <math>h_J</math> est visiblement défini positif : pour tout vecteur non nul ''v'', on a : <math>h_J(v,v)=\omega(v,Jv)>0</math>.
{{boîte déroulanteDémonstration|titre=Vérifications|contenu=
:* ''<math>g_J</math> est une forme bilinéaire symétrique :''
 
::En effet, pour tous vecteurs ''v'' et ''w'' de ''E'', comme ''J'' est un symplectique, il vient : <math>g_J(v,w)=\omega(v,Jw)=\omega(Jv,-w)=\omega(w,Jv)=g_J(v,w)</math> ;
 
:<math>g_J(v,w)=\omega(v,Jw)=\omega(Jv,-w)=\omega(w,Jv)=g_J(v,w)</math> ;
 
:* ''<math>h_J</math> est un produit hermitien :''
 
::Le calcul est similaire : <math>h_J(v,Jw)=-\omega(v,w)+i\omega(v,Jw)=i.h_J(v,w)</math>. On montre ainsi que <math>h_J</math> est sesquilinéaire. Par ailleurs, <math>h_J</math> est visiblement défini positif : pour tout vecteur non nul ''v'', on a : <math>h_J(v,v)=\omega(v,Jv)>0</math>.
}}
 
 
 
{{Théorème|contenu=
{{début cadre|violet}}
:'''Pour tout espace vectoriel symplectique <math>(V,\omega)</math> il existe une structure presque complexe <math>\omega</math>-compatible.'''
 
:'''De plus, l'nsemble ''I''(''V'') des structures complexes <math>\omega</math>-compatibles forme une partie connexe de GL(V). Les groupes <math>GL(V)</math> et <math>Sp(V,\omega)</math> agissent transitivement sur ''I''(''V'') par conjugaison.
{{Fin cadre}}
}}
{{boîte déroulante|titre=démonstration|contenu=
 
:* ''Existence :''
 
:Soit ''g'' un produit euclidien sur ''V''. Il existe un unique endomorphisme ''g''-antisymétrique ''A'' tel que, pour tous vecteur ''v'' et ''w'' : <math>g(v,Aw)=\omega(v,w)</math>. La décomposition polaire donne : ''A''=''O''.''J'' où ''O'' est un endomorphisme orthogonal. Alors ''J'' est une structure complexe <math>\omega</math> compatible. (à détailler)
{{Démonstration|contenu=
:* ''Existence :''
:Soit ''g'' un produit euclidien sur ''V''. Il existe un unique endomorphisme ''g''-antisymétrique ''A'' tel que, pour tous vecteur ''v'' et ''w'' : <math>g(v,Aw)=\omega(v,w)</math>. La décomposition polaire donne : ''A''=''O''.''J'' où ''O'' est un endomorphisme orthogonal. Alors ''J'' est une structure complexe <math>\omega</math> compatible. (à détailler)
 
:Par construction, les endomorphismes ''J'' ainsi obtenus sont exactement toutes les structures complexes <math>\omega</math>-compatibles, et dépendent continument du produit euclidien ''g''. De fait, l'espace ''I''(''V'') est l'image continue de l'espace des produits euclidiens sur ''V''. De fait, il est connexe.
:* ''Action par conjugaison :''
:A compléter ...
}}
''Note :'' Dans le livre de Michèle Audin, il est rapporté un résultat de Sévennec établissant un difféomorphisme de ''I''(''V'') sur un ouvert de l'espace des matrices symétriques.
 
{{Exemple|titre=Exemple 4 bis|contenu=
:'''Exemple 4 bis :''' La multilicationmultiplication par ''i'' sur un espace hermitien <math>(H,h)</math> est une isométrie ''J'', et donc en particulier, une structure complexe et un isomorphisme symplectique de <math>(H,\omega_h)</math>. On constate que la forme bilinéaire symétrique définie alors par <math>\omega_h</math> et <math>J</math> est <math>g_h=Re h</math>. En particulier, elle est non dégénérées, et donc ''J'' est <math>\omega_h</math>-compatible. La forme hermitienne ''h'' n'est autre que la forme hermitienne associée à <math>(\omega,J)</math>.
}}
 
 
{{Exemple|titre=Exemple 3 bis|contenu=
 
:'''Exemple 3 bis :''' L'espace vectoriel <math>E\oplus E</math> est muni d'une structure presque complexe naturelle <math>J:(q,p)\mapsto (-p,q)</math>. Si ''E'' est munie d'un produit euclidien ''g'', alors ''J'' est <math>\omega_g</math> compatible, et le produit euclidien associé est précisément <math>g\oplus g</math>.
}}
 
===Sous-espaces d'un espace symplectique===
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