« Théorie des groupes/Action de groupe » : différence entre les versions

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→‎Vocabulaire : autre caractérisation d'une action libre
→‎Vocabulaire : Ajouté deux précisions sur les actions fidèles.
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* Le '''stabilisateur''' d'un élément ''x'' de ''X'' est l’ensemble des éléments ''g'' de ''G'' qui fixent ''x'', autrement dit tels que ''g''.''x''=''x''. C’est un sous-groupe de ''G''. Il en résulte qu'un élément ''x'' de ''X'' est point fixe d'un élément ''g'' de ''G'' si et seulement s'il est point fixe pour l'opération du sous-groupe <''g''> de ''G'' sur ''X''. (Nous retrouverons ce fait dans l'étude des groupes symétriques finis.)
* Une action est dite '''transitive''' lorsqu'elle possède une et une seule orbite. (Postuler l’existence d'une orbite revient à postuler que l’ensemble sur lequel le groupe opère n’est pas vide<ref>Souligné par N. Bourbaki, Algèbre, ch. I, § 5, {{numéro}}5, Paris, 1970, p. 56.</ref>.) Si un groupe ''G'' opère transitivement sur un ensemble ''X'', on dit que ''X'' est un ''G''-ensemble homogène<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, {{numéro}}5, Paris, 1970, p. 56.</ref> ou encore un ''G''-espace homogène<ref>P. Tauvel, ''Algèbre'', 2{{e}} éd., Paris, 2005, p. 65.</ref>. On dit qu'un groupe de permutations d'un ensemble X est transitif si son action naturelle est transitive.
* Une action d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''X'' est dite '''libre''' lorsque tout élément non neutre de ''G'' est sans points fixes. Cela revient à dire que pour tout élément ''x'' de ''X'', le stabilisateur de ''x'' est le sous-groupe trivial de ''G''. Cela revient encore à dire que pour tout élément ''x'' de ''X'', l’application <math>\ f_{x} : G \rightarrow X : g \mapsto gx</math> est injective. (L'application <math>\ f_{x}</math> est appelée l’application orbitale définie par ''x''.) Dans ce cas, le cardinal de toute orbite est égal à <math>\vert G \vert </math> et <math>\vert G \vert </math> divise <math>\vert X \vert </math>. Si ''X'' n'est pas vide, on a donc <math>\vert G \vert \leq \vert X \vert .</math> Toute action libre sur un ensemble non vide est fidèle.
* Une action d'un groupe ''G'' sur un ensemble ''X'' est dite '''simplement transitive''' si elle est transitive et libre. On dit alors que ''X'' est un ''G''-ensemble homogène principal<ref>N. Bourbaki, ''Algèbre'', ch. I, § 5, {{numéro}}6, Paris, 1970, p. 58.</ref>. Pour tout élément ''x'' de ''X'', l’application orbitale <math>\ f_{x} : G \rightarrow X : g \mapsto gx</math> est alors une bijection de ''G'' sur ''X''. Puisque, par définition d'une action transitive, ''X'' n'est pas vide, il en résulte que ''X'' est équipotent à ''G''.