« Calcul différentiel/Exercices/Inversion locale, fonctions implicites » : différence entre les versions
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m →Exercice 2 : +LI |
m →Exercice 5 : -coquille |
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Ligne 100 :
#<math>g</math> est de classe C{{exp|∞}} et <math>\frac{\partial g}{\partial y}\left(x,y\right)=2\operatorname e^{x+y-1}-\frac1{x-y}+3y^2</math>.
#:<math>g\left(1,0\right)=0</math> et <math>\frac{\partial g}{\partial y}\left(1,0\right)=1\ne0</math>, d'où l'existence et la régularité de <math>\phi</math>.
#:Soit <math>\phi\left(1+u\right)=au+bu^2+cu^3+o\left(u^3\right)</math> son développement limité à l'ordre <math>3</math> en <math>
#:<math>\begin{align}0&=2\operatorname e^{(1+a)u+bu^2+cu^3}+\ln\left(1+(1-a)u-bu^2-cu^3\right)-2-2u+\left(au\right)^3+o\left(u^3\right)\\
&=\cancel2+2(1+a)u+2bu^2+2cu^3+(1+a)^2u^2+2(1+a)bu^3+(1+a)^3u^3/3\\
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