« Calcul différentiel/Exercices/Inversion locale, fonctions implicites » : différence entre les versions

#*Au point <math>(\sqrt[3]2,\sqrt[3]4)</math>, les deux demi-branches <math>x(y)</math> avec <math>y<\sqrt[3]4</math> qui se rejoignent ont de même pour tangente commune l'axe <math>y=\sqrt[3]4</math>, ce qui correspond bien au calcul précédent pour <math>a\ne b^2</math> et <math>y=\varphi(x)</math> : comme ici <math>b=a^2</math>, <math>\varphi'(a)=0</math>.

#<math>\frac{\partial(\operatorname e^x+\operatorname e^y+x+y-2)}{\partial y}=\operatorname e^y+1\ne0</math>, ce qui prouve l'existence de <math>\varphi</math> (de classe C{{exp|∞}}). Soit <math>\varphi(x)=a+bx+cx^2+dx^3+o(x^3)</math> son d.l. à l'ordre <math>3</math> en <math>0</math>.<br><math>0=1+x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}6+\operatorname e^a\left(1+bx+cx^2+dx^3+\frac12(b^2x^2+2bcx^3)+\frac{b^3}6x^3\right)+x+a+bx+cx^2+dx^3-2</math><br>donc <math>a=0,\quad b=-1,\quad c=-1/2,\quad d=-1/4</math>.

#*soit en dérivant <math>k</math> fois <math>f(x,\varphi(x))=0</math> pour exprimer la <math>k</math>-ième dérivée de <math>\varphi</math> en fonction des précédentes et des dérivées partielles de <math>f</math> :

#*:<math>\varphi'(x)=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(x,\varphi(x))}{\frac{\partial f}{\partial y}(x,\varphi(x))},</math>