« Fonction logarithme/Dérivée de ln(u) » : différence entre les versions

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On considère des fonctions de la forme <center><math>ln(u</math></center>), où ''u'' est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I. Par exemple, la fonction ''f'' définie par :

<center><math>f(x) = ln(2x + 1)</math></center>.

<center><math>u(x) = 2x + 1</math></center>

suivie de la fonction logarithme népérien <center><math>ln</math></center>, ce que l’on représente par le schéma :

<center><math>xu(x) = 2x + 1 donc f(x) = ln(2x + 1)</math></center>

Comme <center><math>u(x) = 2x + 1>0</math></center> pour tout ''x'', on peut toujours en prendre le logarithme, ''f'' est donc définie sur <center><math>\R</math></center>.

Pour calculer <center><math>f’f'(x)</math></center>, on utilise la formule

<center><math>f'(x) = a.f'(ax + b)</math></center>

<center><math>f'(x) = 2.\frac{1}{{2x + 1}} = \frac{2}{{2x + 1}}</math></center>

Ici, <center><math>u ’'(x) = a</math></center>, on généralise ce procédé au cas où ''u'' n’est pas forcément affine :

<center><math>f(x) = ln(u(x))</math></center>

<center><math>f'(x) = \frac{{u '(x)}}{{u(x)}}</math></center>

1. <center><math>f(x) = ln(x^2 + 1)u(x) = \ldots \ldots u '(x) = \ldots \ldots f '(x) = \ldots \ldots \ldots </math></center>

2. <center><math>f(x) = ln(2x^3 + 1)=\ldots</math></center>

3. <center><math>f(x) = ln(x^2 + 2x + 1)=\ldots</math></center>

4. <center><math>f(x) = ln((x + 1)^2 )=\ldots</math></center>

5. <center><math>f(x) = ln(\frac{{x + 2}}{{4x - 2}})=</math></center>

6. <center><math>f(x) = ln(x + 2) - ln(4x - 2)=\ldots</math></center>

7. <center><math>f(x) = - 3ln(5x^2 + 3)=\ldots</math></center>

8. <center><math>f(x) = - 3x.ln(5x^2 + 3)=\ldots</math></center>