« Fonction logarithme/Dérivée de ln(u) » : différence entre les versions
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Ligne 12 :
==Exemple==
On considère des fonctions de la forme <center><math>ln(u)\,</math></center>
<center><math>f(x) = ln(2x + 1)\,</math></center>.
f est la fonction composée de la fonction affine
<center><math>u(x) = 2x + 1\,</math></center>
suivie de la fonction logarithme népérien <center><math>ln\,</math></center>, ce que l’on représente par le schéma :
<center><math>xu(x) = 2x + 1 donc f(x) = ln(2x + 1)\,</math></center>
Comme <center><math>u(x) = 2x + 1>0\,</math></center> pour tout ''x'', on peut toujours en prendre le logarithme, ''f'' est donc définie sur <center><math>\R\,</math></center>.
Pour calculer <center><math>f'(x)\,</math></center>, on utilise la formule
<center><math>f'(x) = a.f'(ax + b)\,</math></center>
donc :
<center><math>f'(x) = 2.\frac{1}{{2x + 1}} = \frac{2}{{2x + 1}}\,</math></center>
Ici, <center><math>u'(x) = a\,</math></center>, on généralise ce procédé au cas où ''u'' n’est pas forcément affine :
{{Théorème|contenu=
Ligne 40 :
Si
<center><math>f(x) = ln(u(x))\,</math></center>
où ''u'' est dérivable et strictement positive sur I
Ligne 46 :
Alors ''f'' est dérivable sur I et
<center><math>f'(x) = \frac{{u'(x)}}{{u(x)}}\,</math></center>
}}
Ligne 53 :
Sans se préoccuper de l’intervalle I, dériver les fonctions f suivantes :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
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