« Fonction logarithme/Dérivée de ln(u) » : différence entre les versions

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==Exemple==
 
On considère des fonctions de la forme <center><math>ln(u)\,</math></center>), où ''u'' est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I. Par exemple, la fonction ''f'' définie par :
 
<center><math>f(x) = ln(2x + 1)\,</math></center>.
 
f est la fonction composée de la fonction affine
 
<center><math>u(x) = 2x + 1\,</math></center>
 
suivie de la fonction logarithme népérien <center><math>ln\,</math></center>, ce que l’on représente par le schéma :
 
<center><math>xu(x) = 2x + 1 donc f(x) = ln(2x + 1)\,</math></center>
 
Comme <center><math>u(x) = 2x + 1>0\,</math></center> pour tout ''x'', on peut toujours en prendre le logarithme, ''f'' est donc définie sur <center><math>\R\,</math></center>.
 
Pour calculer <center><math>f'(x)\,</math></center>, on utilise la formule
 
<center><math>f'(x) = a.f'(ax + b)\,</math></center>
 
donc :
 
<center><math>f'(x) = 2.\frac{1}{{2x + 1}} = \frac{2}{{2x + 1}}\,</math></center>
 
Ici, <center><math>u'(x) = a\,</math></center>, on généralise ce procédé au cas où ''u'' n’est pas forcément affine :
 
{{Théorème|contenu=
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Si
 
<center><math>f(x) = ln(u(x))\,</math></center>
 
où ''u'' est dérivable et strictement positive sur I
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Alors ''f'' est dérivable sur I et
 
<center><math>f'(x) = \frac{{u'(x)}}{{u(x)}}\,</math></center>
}}
 
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Sans se préoccuper de l’intervalle I, dériver les fonctions f suivantes :
 
1. <center><math>f(x) = ln(x^2 + 1)u(x) = \ldots \ldots u '(x) = \ldots \ldots f '(x) = \ldots \ldots \ldots \,</math></center>
 
2. <center><math>f(x) = ln(2x^3 + 1)=\ldots\,</math></center>
 
3. <center><math>f(x) = ln(x^2 + 2x + 1)=\ldots\,</math></center>
 
4. <center><math>f(x) = ln((x + 1)^2 )=\ldots\,</math></center>
 
5. <center><math>f(x) = ln(\frac{{x + 2}}{{4x - 2}})=\,</math></center>
 
6. <center><math>f(x) = ln(x + 2) - ln(4x - 2)=\ldots\,</math></center>
 
7. <center><math>f(x) = - 3ln(5x^2 + 3)=\ldots\,</math></center>
 
8. <center><math>f(x) = - 3x.ln(5x^2 + 3)=\ldots\,</math></center>