« Théorie des groupes/Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs » : différence entre les versions
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→Généralités sur les groupes linéaires : Signalé qu'un corps fini a pour ordre une puissance de nombre premier. |
→Généralités sur les groupes linéaires : plus précis |
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Ligne 143 :
:<math>\ \vert \mathrm{SL}(V) \vert = \vert \mathrm{GL}(V) \vert / (q - 1),</math>
d'où la valeur de <math>\ \vert \mathrm{SL}(V) \vert </math> donnée dans l'énoncé.<br />
Si ''a'' est un scalaire non nul, le déterminant de l'homothétie a id<sub>V</sub> est a<sup>n</sup>, donc (puisque <math>\ a \mapsto a \ \mathrm{id}_{V}</math> définit un isomorphisme du groupe multiplicatif K - {0} sur Z(V)), <math>\vert \mathrm{SZ}(V) \vert</math> est le nombre d'éléments ''a'' de K - {0} tels que a<sup>n</sup> = 1. On sait (chapitre [[../Automorphismes d'un groupe cyclique|Automorphismes d'un groupe cyclique]]) que le groupe multiplicatif K - {0} est un groupe cyclique d'ordre q - 1, donc, d’après le chapitre [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément|Groupes monogènes, ordre d'un élément]], le nombre d'éléments ''a'' de K - {0} tels que a<sup>n</sup> = 1 est pgcd(n, q - 1), d'où la valeur de <math>\vert \mathrm{SZ}(V) \vert </math> donnée dans l'énoncé.<br />
Puisque PSL(V) = SL(V)/SZ(V), la quatrième assertion de l'énoncé résulte de la seconde et de la troisième.
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