« Calcul différentiel/Exercices/Courbes et surfaces dans R3 » : différence entre les versions
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→Exercice 7 : rectif et compléments |
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Ligne 100 :
#Montrer que l'ensemble <math>S:=\{(x,y,z)\in\R^3\mid x^2+y^2+z^2=2(x+y+z-1)\}</math> est une sphère, dont on déterminera le centre et le rayon.
#Déterminer l'équation du plan tangent à <math>S</math> en un point <math>(x_0,y_0,z_0)\in S</math>.
#Expliciter les deux cas particuliers <math>(x_0,y_0,z_0)=(1,1,0)</math> et <math>(x_0,y_0,z_0)=(1,1,2)</math>
{{Solution|contenu=
#<math>x^2+y^2+z^2=2(x+y+z-1)\Longleftrightarrow(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=1^2</math><br>donc <math>S</math> est la sphère de centre <math>(1,1,1)</math> et de rayon <math>1</math>.
#En un point <math>M_0=(x_0,y_0,z_0)</math>, un vecteur normal à cette surface d'équation <math>f(x,y,z)=0</math> est <math>\operatorname{grad}f(M_0)=2(x_0-1,y_0-1,z_0-1)</math> (c'était d'ailleurs évident géométriquement : pour une sphère, le vecteur radial est normal) donc
#:<math>(x_0-1)(x-x_0)+(y_0-1)(y-y_0)+(z_0-1)(z-z_0)=0</math><br>( #On vérifie que <math>f</math> est nulle aux deux points <math>M_0=(1,1,0)</math> et <math>M_1=(1,1,2)</math>. Ils appartiennent donc bien à <math>S</math> et d'après la question précédente, l'équation du plan tangent à <math>S</math> :
#*en <math>M_0</math> est <math>(1-1)(x-1)+(1-1)(y-1)+(0-1)(z-0)=0</math>, qui se simplifie en <math>z=0</math> ;
#*en <math>M_1</math> est <math>(1-1)(x-1)+(1-1)(y-1)+(2-1)(z-2)=0</math>, qui se simplifie en <math>z=2</math>.
#:On peut remarquer que ces deux plans sont parallèles, ce qui n'a rien de surprenant puisque ces deux points de la sphère sont diamétralement opposés.
}}
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