« Intégration de Riemann/Intégrales généralisées » : différence entre les versions

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Si <math>\lambda\ne0</math>, <math>\int_0^x\operatorname e^{-\lambda t}\;\mathrm dt=\left[\frac{\operatorname e^{-\lambda t}}{-\lambda}\right]_0^x=\frac{1-\operatorname e^{-\lambda x}}\lambda</math> admet une limite finie (quand <math>x\to +\infty</math>) si et seulement si <math>\operatorname{Re}(\lambda)>0</math>, et cette limite vaut alors <math>\frac1\lambda</math>.
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{{Remarque|contenu=Soit <math>c\in\left]a,b\right[</math>. L'intégrale <math>\int_a^b f(t)\,\mathrm dt</math> est convergente si et seulement si les deux limites <math>\lim_{x\to a} \int_x^cf(t)\,\mathrm dt</math> et <math>\lim_{,y\to b}\int_c^yf(t)\,\mathrm dt</math> existent, et sa valeur est alors égale à la somme de ces deux limites. Il ne suffit donc pas, pour que <math>\int_a^b f(t)\,\mathrm dt</math> converge, qu'il existe (par exemple) deux fonctions <math>x,y</math> telles que <math>\lim_{\varepsilon\to0^+}x(\varepsilon)=a</math> et <math>\lim_{\varepsilon\to0^+}y(\varepsilon)=b</math> et telles que <math>\lim_{\varepsilon\to0^+} \int_{x(\varepsilon)}^{y(\varepsilon)}f(t)\,\mathrm dt</math> existe et soit finie. Par exemple, pour toute fonction <math>f</math> impaire, <math>\lim_{x\to+\infty} \int_{-x}^xf(t)\,\mathrm dt=0</math> mais cela n'implique aucunement que <math>\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\,\mathrm dt</math> converge (penser à <math>f=\sin</math>).
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