« Intégration de Riemann/Intégrales généralisées » : différence entre les versions

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*Soit <math>c\in\left]a,b\right[</math>. On a <math>\int_a^b f(t)\,\mathrm dt=I\in\R</math> si et seulement si les deux limites <math>\lim_{x\to a} \int_x^cf(t)\,\mathrm dt</math> et <math>\lim_{,y\to b}\int_c^yf(t)\,\mathrm dt</math> existent et si leur somme est égale à <math>I</math>.
*<math>\int_a^b f(t)\,\mathrm dt=I\in\R</math> si et seulement si pour ''toutes'' fonctions <math>x,y</math> telles que <math>\lim_{\varepsilon\to \ell}x(\varepsilon)=a</math> et <math>\lim_{\varepsilon\to\ell}y(\varepsilon)=b</math> (où <math>\ell</math> est par exemple <math>+\infty</math> ou {{nobr|<math>0^+</math>),}} on a <math>\lim_{\varepsilon\to\ell}\int_{x(\varepsilon)}^{y(\varepsilon)}f(t)\,\mathrm dt=I</math>.
*Il ne suffit donc pas, pour que <math>\int_a^b f(t)\,\mathrm dt=I</math>, qu'il ''existe'' deux fonctions <math>x,y</math> telles que <math>\lim_{\varepsilon\to0^+to\ell}x(\varepsilon)=a</math> et <math>\lim_{\varepsilon\to0^+to\ell}y(\varepsilon)=b</math> et telles que <math>\lim_{\varepsilon\to0^+to\ell} \int_{x(\varepsilon)}^{y(\varepsilon)}f(t)\,\mathrm dt=I</math>. Par exemple, pour toute fonction <math>f</math> impaire, <math>\lim_{x\to+\infty} \int_{-x}^xf(t)\,\mathrm dt=0</math> mais cela n'implique aucunement que <math>\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\,\mathrm dt</math> converge [[../Exercices/Intégrales impropres#Exercice 5-3|(penser à la fonction <math>f=\sin</math>]], dont la primitive <math>-\cos</math> n'a pas de limite en l'infini, et pour laquelle même <math>\int_{-x}^{2x}f(t)\,\mathrm dt=\cos(-x)-\cos(2x)=\cos x-(2\cos^2x-1)</math> n'a pas de limite quand <math>x\to+\infty</math> puisqu'elle vaut par exemple <math>0</math> pour <math>x=2k\pi\;(k\in\N)</math> et <math>-2</math> pour <math>=(2k+1)\pi\;(k\in\N)</math>).
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