« Intégration de Riemann/Intégrales généralisées » : différence entre les versions
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→Définition : points sur les I et complément |
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*Soit <math>c\in\left]a,b\right[</math>. On a <math>\int_a^b f(t)\,\mathrm dt=I\in\R</math> si et seulement si les deux limites <math>\lim_{x\to a} \int_x^cf(t)\,\mathrm dt</math> et <math>\lim_{,y\to b}\int_c^yf(t)\,\mathrm dt</math> existent et si leur somme est égale à <math>I</math>.
*<math>\int_a^b f(t)\,\mathrm dt=I\in\R</math> si et seulement si pour ''toutes'' fonctions <math>x,y</math> telles que <math>\lim_{\varepsilon\to \ell}x(\varepsilon)=a</math> et <math>\lim_{\varepsilon\to\ell}y(\varepsilon)=b</math> (où <math>\ell</math> est par exemple <math>+\infty</math> ou {{nobr|<math>0^+</math>),}} on a <math>\lim_{\varepsilon\to\ell}\int_{x(\varepsilon)}^{y(\varepsilon)}f(t)\,\mathrm dt=I</math>.
*Il ne suffit donc pas, pour que <math>\int_a^b f(t)\,\mathrm dt=I</math>, qu'il ''existe'' deux fonctions <math>x,y</math> telles que <math>\lim_{\varepsilon\
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