« Théorie des groupes/Exercices/Groupes nilpotents » : différence entre les versions
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Soit G un groupe d'ordre 45. D'après les théorèmes de Sylow, le nombre des 3-sous-groupes de Sylow de G est congru à 1 modulo 3 et divise 5, ce qui n'est possible que si ce nombre est égal à 1. Donc G est 3-clos. De même, le nombre des 5-sous-groupes de Sylow de G est congru à 1 modulo 5 et divise 9, ce qui n'est possible que si ce nombre est égal à 1, donc G est 5-clos. Donc pour chaque facteur premier <math>p</math> de l'ordre de G, G est <math>p</math>-clos. D'après un théorème démontré dans le [[../../Groupes nilpotents/|chapitre théorique]], il en résulte que G est le produit direct d'un groupe d'ordre 9 et d'un groupe d'ordre 5. Puisque tout groupe d'ordre 9 et tout groupe d'ordre 5 est abélien et que le produit direct de deux groupes abéliens est abélien, il en résulte que G est abélien.
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== Problème 14 ==
Soit G un groupe fini, <math>p</math> un nombre premier et P un p-sous-groupe de G. On suppose que P est un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de <math>N_{G}(P)</math>. Prouver que P est un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G.<br />
Indication : choisir un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow Q de G contenant P et prouver que P est égal à Q; pour cela, utiliser le fait, démontré dans le chapitre théorique, que tout sous-groupe propre d'un groupe nilpotent N est sous-groupe propre de son normalisateur dans N.
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{{Solution
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Choisissons un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow Q de G contenant P. Nous allons prouver que P = Q.<br />
Puisque <math>N_{Q}(P)</math> est contenu dans <math>N_{G}(P)</math>, nous avons
:(1)<math>\qquad P \leq N_{Q}(P) \leq N_{G}(P) .</math>
D'autre part, puisque Q est un <math>p</math>-sous-groupe de G, son sous-groupe <math>N_{Q}(P)</math> est lui aussi un <math>p</math>-sous-groupe de G et est donc, d'après (1), un <math>p</math>-sous-groupe de <math>N_{G}(P)</math>, Donc, puisque, par hypoyhèse de l'énoncé, P est un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de <math>N_{G}(P)</math>, il résulte de (1) que
:<math>\qquad N_{Q}(P) = P .</math>
Donc P est son propre normalisateur dans le groupe nilpotent Q. D'après un théorème démontré dans le chapitre théorique, il en résulte que P est égal à Q. D'après notre choix de Q, P est donc un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G, ce qui démontre l'énoncé.
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