« Théorie des groupes/Exercices/Groupes nilpotents » : différence entre les versions

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m →‎Problème 14 : coquille
Ligne 548 :
Puisque <math>N_{Q}(P)</math> est contenu dans <math>N_{G}(P)</math>, nous avons
:(1)<math>\qquad P \leq N_{Q}(P) \leq N_{G}(P) .</math>
D'autre part, puisque Q est un <math>p</math>-sous-groupe de G, son sous-groupe <math>N_{Q}(P)</math> est lui aussi un <math>p</math>-sous-groupe de G et est donc, d'après (1), un <math>p</math>-sous-groupe de <math>N_{G}(P)</math>, Donc, puisque, par hypoyhèsehypothèse de l'énoncé, P est un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de <math>N_{G}(P)</math>, il résulte de (1) que
:<math>\qquad N_{Q}(P) = P .</math>
Donc P est son propre normalisateur dans le groupe nilpotent Q. D'après un théorème démontré dans le chapitre théorique, il en résulte que P est égal à Q. D'après notre choix de Q, P est donc un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G, ce qui démontre l'énoncé.