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« Théorie des groupes/Groupes nilpotents » : différence entre les versions

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:G = H<sub>1</sub> ⊇ H<sub>2</sub> ⊇ ... ⊇ H<sub>n+1</sub> = H,
telle que pour tout ''i'' (1 ≤ i ≤ n), H<sub>i+1</sub> soit distingué dans H<sub>i</sub>. (Nous n'avons pas besoin ici de savoir que les quotients sont commutatifs.) Il existe au moins un indice ''i'' (à savoir ''i'' = 1) tel que H<sub>i</sub> soit distinct de H. Considérons le plus grand de ces indices ''i''. Alors H est sous-groupe distingué de H<sub>i</sub>, donc N<sub>G</sub>(H) contient H<sub>i</sub>. Puisque H<sub>i</sub> ⊋ H, on a donc bien N<sub>G</sub>(H) ⊋ H.
 
Rappelons qu'un sous-groupe M d'un groupe G est appelé un sous-groupe maximal de G si M est un élément maximal de l'ensemble des sous-groupes '''propres''' de G, ordonné par inclusion. Autrement dit, un sous-groupe maximal d'un groupe G est un sous-groupe propre M de G tel qu'il n'y ait pas de sous-groupe de G strictement compris entre M et G.
 
{{Proposition
| contenu =
Tout sous-groupe maximal d'un groupe nilpotent G est normal dans G.
}}
Démonstration. Soit M un sous-groupe maximal de G. Alors M est un sous-groupe propre de G, donc, d'après la proposition précédente,
:M < N<sub>G</sub>(M).
Puisque M est un sous-groupe maximal de G, ceci entraîne N<sub>G</sub>(M) = G, autrement dit M est normal dans G.
 
La proposition qui suit dit trois fois la même chose sous des formes différentes.
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