« Théorie des groupes/Exercices/Groupes nilpotents » : différence entre les versions

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Puisque <math>N_{P}(Q)</math> est un sous-groupe du <math>p</math>-groupe P, il est lui aussi un <math>p</math>-groupe, donc son quotient <math>N_{P}(Q)/Q</math> en est un lui aussi, donc (2) revient à dire que
:<math>\qquad N_{P}(Q)/Q</math> est un <math>p</math>-groupe non trivial.
Dès lors (théorème de Cauchy), nous pouvons choisir un sous-groupe <math>\mathfrak{T} </math> d'ordre <math>p</math> de <math>N_{P}(Q)/Q .</math> D'après le théorème de correspondance, <math>\mathfrak{T} </math> est de la forme T/Q, où T est un sous-groupe de <math>N_{P}(Q) .</math> contenant Q. Puisque <math>\mathfrak{T} </math> est d'ordre <math>p</math> , c'est-à-dire que T/Q est d'ordre <math>p</math>, nous avons
:(3)<math>[T:Q] = p .</math>
Puisque T est un sous-groupe de <math>N_{P}(Q)</math>, il est contenu dans <math>N_{G}(Q) .</math> Joint à (3), cela montre que l'énoncé est vrai avec <math>Q_{1} = T .</math>