« Théorie des groupes/Exercices/Groupes nilpotents » : différence entre les versions

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== Problème 14 ==
Soit G un groupe fini, <math>p</math> un nombre premier et P un p-sous-groupe de G. On suppose que P est un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de <math>N_{G}(P)</math>. Prouver que P est un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G.<br />
Indication : choisir un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow Q de G contenant P et prouver que P est égal à Q; pour cela, utiliser le fait, démontré dans le chapitre théorique, que tout sous-groupe propre d'un groupe nilpotent N est sous-groupe propre de son normalisateur dans N.
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{{Solution
| contenu =
Choisissons un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow Q de G contenant P. Nous allons prouver que P = Q.<br />
Puisque <math>N_{Q}(P)</math> est contenu dans <math>N_{G}(P)</math>, nous avons
:(1)<math>\qquad P \leq N_{Q}(P) \leq N_{G}(P) .</math>
D'autre part, puisque Q est un <math>p</math>-sous-groupe de G, son sous-groupe <math>N_{Q}(P)</math> est lui aussi un <math>p</math>-sous-groupe de G et est donc, d'après (1), un <math>p</math>-sous-groupe de <math>N_{G}(P)</math>, Donc, puisque, par hypothèse de l'énoncé, P est un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de <math>N_{G}(P)</math>, il résulte de (1) que
:<math>\qquad N_{Q}(P) = P .</math>
Donc P est son propre normalisateur dans le groupe nilpotent Q. D'après un théorème démontré dans le chapitre théorique, il en résulte que P est égal à Q. D'après notre choix de Q, P est donc un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G, ce qui démontre l'énoncé.
}}
 
== Problème 15 ==
Soit G un groupe fini, soit <math>p</math> un facteur premier de <math>\vert G \vert </math>, soit Q un <math>p</math>-sous-groupe de G. On suppose que <math>\vert Q \vert </math> n'est pas la plus grande puissance de <math>p</math> qui divise <math>\vert G \vert </math>, autrement dit que Q n'est pas un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G.<br />
Prouver que <math>N_{G}(Q)</math> contient un sous-groupe <math>Q_{1}</math> contenant Q et tel que <math>[Q_{1} : Q] = p .</math><br />
Ligne 572 ⟶ 558 :
Puisque T est un sous-groupe de <math>N_{P}(Q)</math>, il est contenu dans <math>N_{G}(Q) .</math> Joint à (3), cela montre que l'énoncé est vrai avec <math>Q_{1} = T .</math>
}}
SoitRemarque. Ce qui précède montre que si G est un groupe fini, <math>p</math> un nombre premier et PQ un p-sous-groupe de G., Onsi suppose que PQ est un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de <math>N_{G}(PQ)</math>., Prouver quealors PQ est un <math>p</math>-sous-groupe de Sylow de G.<br />
 
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