« Espaces vectoriels normés/Connexité » : différence entre les versions

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{{Définition
| titre = Définition : Segment, convexité.
| contenu ={{Wikipédia|Ensemble convexe}}
:* On appelle segment entre <math>x,y \in E</math> l'ensemble <math>[x,y]=\{tx+(1-t)y\ |\mid t\in [0,1]\}</math>.
:* On dit que <math>A\subset E</math> est convexe si pour tous points <math>x,y \in A</math>, le segment <math>[x,y]\subset</math> est inclus dans <math>A</math>.
}}
 
;RemarqueRemarques :
:*Dans <math>\R^2</math>, le lecteur peut vérifier que la définition donnée pour les segments correspond à un paramétrisation du segment naturelle.
:*Tout e.v.n. est convexe.
 
La propriété suivante nous fournit d'autres exemples de parties convexes :
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{{Démonstration déroulante
| contenu=
:Montrons la première affirmation pour des boules ouvertes, ; le raisonnement est identique pour les boules fermées.
 
:Soit <math>B(a,R)</math> une boule ouverte, et <math>x,y \in B(a,R)</math>.
:Soit <math>B(a,R)</math> une boule ouverte, et <math>x,y \in B(a,R)</math>.

En utilisant les propriétés des normes et des boules, on a : <math>\|tx+(1-t)y-a\| = \|t(x-a)+(1-t)(y-a)\|\leq t\|x-a\|+(1-t)\|y-a\|\leq R</math>.
 
:La seconde partie de la propriété est évidente.
}}
 
La proposition suivante est quasimmentquasiment immédiate à partir de la définition, la démonstration ne figurant qu'à titre d'exemple.
Cependant, le résultat est très important pour démontrer qu'un espace est connexe par arcs ; en effet la convexité est souvent plus facile à démontrer et à visualiser géométriquement quand on a l'habitude de ces notions. Elle constitue également notre principale application de la connexité ici.
 
{{Propriété
Ligne 236 ⟶ 239 :
{{Démonstration déroulante
|contenu =
:Soit <math>x,y \in A</math>.
 
:Prendre pour arc <math>\begin{align}\gamma\ :\ &[0,1] &\to &\ \ A & \\& t &\mapsto & x+(1-t)y& \end{align}</math> qui est bien un arc de <math>A</math> par définition de la convexité.
}}
 
Ce résultat nous permet de démontrer ainsiprouve que tout e.v.n. est connexe, ce qui justifie la première remarque de ce chapitre.
 
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