« Intégrale double/Exercices/Intégrales multiples » : différence entre les versions
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→Exercice 2-5 : +1sous-question(+rép) |
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Ligne 76 :
#Calculer <math>\iiint_{1\le x^2+y^2+z^2\le4}(x^2+y^2+z^2)^\alpha\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz</math>.
#Calculer le volume de <math>\left\{(x,y,z)\in\R^3\mid x^2+y^2\le1,\;0\le z\le1-x^2+y^2\right\}</math>.
#
##Calculer le volume de <math>H_{a,b,c}</math>.
##Calculer <math>I:=\iiint_{H_{1,1,2}}z\operatorname e^{x^2+y^2}\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz</math>.
{{Solution|contenu=
En posant <math>x=ar\cos\theta\cos\varphi</math>, <math>y=br\sin\theta\cos\varphi</math> et <math>z=cr\sin\varphi</math>, on trouve :
Ligne 82 ⟶ 84 :
#<math>\iiint_{[1,2]\times[0,2\pi]\times[-\pi/2,\pi/2]}r^{2\alpha+2}\cos\varphi\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\varphi=2\pi\int_1^2r^{2\alpha+2}\,\mathrm dr\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\varphi\,\mathrm d\varphi=\begin{cases}4\pi\frac{2^{2\alpha+3}-1}{2\alpha+3}&\text{si }\alpha\ne-\frac32\\4\pi\ln2&\text{si }\alpha=-\frac32\end{cases}</math>.
#<math>\iiint_{0\le r\le1\atop0\le\theta\le2\pi}\left(1-r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta\right)r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta=2\pi\left[\frac{r^2}2\right]_0^1-\left[\frac{r^4}4\right]_0^1\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,\mathrm d\theta+\left[\frac{r^4}4\right]_0^1\int_0^{2\pi}\sin^2\theta\,\mathrm d\theta=2\pi\left[\frac{r^2}2\right]_0^1=\pi</math>.
#
##Pour tout <math>z\in\R</math>, l'[[Intégration de Riemann/Exercices/Calculs d'aires#Exercice 3-3|aire de l'ellipse]] <math>\left\{(x,y)\in\R^2~\left|~\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le1+\frac{z^2}{c^2}\right.\right\}</math> est égale à <math>\pi ab\left(1+\frac{z^2}{c^2}\right)</math>. Le volume de <math>H</math> est donc <math>\int_{-1}^2\pi ab\left(1+\frac{z^2}{c^2}\right)\;\mathrm dz=\pi ab\left[z+\frac{z^3}{3c^2}\right]_{-1}^2=3\pi ab\left(1+\frac1{c^2}\right)</math>.
##<math>I=\int_{-1}^2z\left(\iint_{0\le r\le\sqrt{1+\frac{z^2}4}\atop0\le\theta\le2\pi}\operatorname e^{r^2}r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\right)\,\mathrm dz=\pi\int_{-1}^2z\left(\operatorname e^{1+\frac{z^2}4}-1\right)\,\mathrm dz=2\pi\left[\operatorname e^{1+\frac{z^2}4}-\frac{z^2}4\right]_{-1}^2=2\pi\left(\operatorname e^2-\operatorname e^{5/4}-\frac34\right)</math>.
}}
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